نامعادله دوگانه: از مفهوم تا حل مسئله
روشی فشرده برای نوشتن دو شرط همزمان روی یک عبارت ریاضی و یافتن بازه جواب
در این مقاله با مفهوم نامعادله دوگانه (Compound Inequality) آشنا میشویم. یاد میگیریم که چگونه دو نامعادله را که با عملگرهای «و» (and) یا «یا» (or) به هم پیوند خوردهاند، به صورت یک عبارت فشرده مانند a
**نکته حیاتی:** نوع «یا» (or) معمولاً به صورت دوگانه و پیوسته مانند a روش حل گامبهگام: هدف، یافتن x است
هدف اصلی در حل یک نامعادله دوگانه از نوع a
✏️ مثال 1 (عملیات جمع و تفریق): نامعادله $-4 \le 2x - 6 \lt 8$ را حل کنید.
مرحله 1 (حذف عدد منهای): به هر سه بخش عدد 6 را اضافه میکنیم:
$-4 + 6 \le 2x - 6 + 6 \lt 8 + 6$
$2 \le 2x \lt 14$
مرحله 2 (حذف ضریب x): هر سه بخش را بر عدد مثبت 2 تقسیم میکنیم. (چون عدد مثبت است، جهت نامعادله تغییر نمیکند.)
$\frac{2}{2} \le \frac{2x}{2} \lt \frac{14}{2}$
$1 \le x \lt 7$
پاسخ: مجموعه جواب تمام اعداد حقیقی از 1 (شامل خودش) تا 7 (خودش شامل نیست) است. این بازه را به صورت $[1, 7)$ نمایش میدهیم.
تعریف و ساختار: چرا دو نامعادله را یکی میکنیم؟
گاهی در مسائل ریاضی با شرایطی روبهرو میشویم که یک عبارت باید همزمان از دو طرف پایین و بالا محدود شود. به عنوان مثال، فرض کنید دمای یک واکنش شیمیایی (T) باید حتماً بالای 10 درجه و همزمان پایینتر از 50 درجه باشد. این شرط را میتوان به دو صورت نوشت:- صورت ناپیوسته: T > 10 و T 50
- صورت پیوسته (دوگانه): 10
| نوع نامعادله | نماد منطقی | نمایش دوگانه (فرضی) | نمایش معادل مجزا | مفهوم مجموعه جواب |
|---|---|---|---|---|
| دوگانه پیوسته (and) | ∧ (و) | -3 ≤ 2x+1 | 2x+1 ≥ -3 و 2x+1 | اشتراک دو بازه |
| دوگانه گسسته (or) | ∨ (یا) | x ≤ -2 یا x > 4 | x ≤ -2 یا x > 4 | اجتماع دو بازه |
مرحله 1 (حذف عدد منهای): به هر سه بخش عدد 6 را اضافه میکنیم:
$-4 + 6 \le 2x - 6 + 6 \lt 8 + 6$
$2 \le 2x \lt 14$
مرحله 2 (حذف ضریب x): هر سه بخش را بر عدد مثبت 2 تقسیم میکنیم. (چون عدد مثبت است، جهت نامعادله تغییر نمیکند.)
$\frac{2}{2} \le \frac{2x}{2} \lt \frac{14}{2}$
$1 \le x \lt 7$
پاسخ: مجموعه جواب تمام اعداد حقیقی از 1 (شامل خودش) تا 7 (خودش شامل نیست) است. این بازه را به صورت $[1, 7)$ نمایش میدهیم.
✏️ مثال 2 (تقسیم بر عدد منفی - هشدار!): نامعادله $3 \lt -2x + 1 \le 9$ را حل کنید.
مرحله 1 (حذف عدد ثابت): از هر سه بخش عدد 1 را کم میکنیم:
$3 - 1 \lt -2x + 1 - 1 \le 9 - 1$
$2 \lt -2x \le 8$
مرحله 2 (تقسیم بر عدد منفی): برای تنها شدن x، هر سه بخش را بر 2- تقسیم میکنیم. هشدار: از آنجایی که بر عدد منفی تقسیم میکنیم، جهت هر دو نامعادله باید معکوس شود.
$\frac{2}{-2} \gt \frac{-2x}{-2} \ge \frac{8}{-2}$
$-1 \gt x \ge -4$
مرحله 3 (مرتبسازی): معمولاً ترتیب را به صورت استاندارد (کوچکترین در چپ) مینویسیم. یعنی $-4 \le x \lt -1$.
پاسخ: مجموعه جواب به صورت بازه $[-4, -1)$ است.
مرحله 1 (حذف عدد ثابت): از هر سه بخش عدد 1 را کم میکنیم:
$3 - 1 \lt -2x + 1 - 1 \le 9 - 1$
$2 \lt -2x \le 8$
مرحله 2 (تقسیم بر عدد منفی): برای تنها شدن x، هر سه بخش را بر 2- تقسیم میکنیم. هشدار: از آنجایی که بر عدد منفی تقسیم میکنیم، جهت هر دو نامعادله باید معکوس شود.
$\frac{2}{-2} \gt \frac{-2x}{-2} \ge \frac{8}{-2}$
$-1 \gt x \ge -4$
مرحله 3 (مرتبسازی): معمولاً ترتیب را به صورت استاندارد (کوچکترین در چپ) مینویسیم. یعنی $-4 \le x \lt -1$.
پاسخ: مجموعه جواب به صورت بازه $[-4, -1)$ است.
کاربرد عملی: از مسئله تا نامعادله
فرض کنید یک شرکت تولیدکننده نوشابه میخواهد بطریهای 500 میلیلیتری پر کند. دستگاه پرکن کاملاً دقیق نیست و خطای مجاز آن 10 میلیلیتر است. یعنی حجم مایع درون بطری (V) نباید از 490 کمتر و از 510 بیشتر باشد. این شرط کیفیت را میتوان به صورت یک نامعادله دوگانه مدل کرد: $490 \le V \le 510$ حال اگر از روی برچسبگذاری، رابطهای بین حجم (V) و ارتفاع مایع در بطری (h) داشته باشیم، مثلاً $V = 50h + 100$، میتوانیم بازه مجاز ارتفاع را محاسبه کنیم: $490 \le 50h + 100 \le 510$ با حل این نامعادله دوگانه (کم کردن 100 از همه بخشها و سپس تقسیم بر 50) داریم: $390 \le 50h \le 410$ $7.8 \le h \le 8.2$ این یعنی ارتفاع مایع باید بین 7.8 تا 8.2 واحد (مثلاً سانتیمتر) باشد تا محصول در بازه قبولی قرار گیرد.چالشهای مفهومی
❓ چالش 1: چرا نمیتوانیم در نامعادله دوگانه، طرفین را در یک عبارت شامل متغیر ضرب کنیم؟
پاسخ: ضرب یا تقسیم در یک عبارت شامل متغیر، به دلیل نامشخص بودن علامت آن عبارت (مثبت یا منفی) خطرناک است. اگر عبارت منفی باشد، باید جهت نامعادله را عوض کنیم، اما چون علامت آن برای تمام مقادیر x یکسان نیست، نمیتوانیم یک قانون ثابت برای همه حالات اعمال کنیم. در نتیجه، ساختار استاندارد a
پاسخ: ضرب یا تقسیم در یک عبارت شامل متغیر، به دلیل نامشخص بودن علامت آن عبارت (مثبت یا منفی) خطرناک است. اگر عبارت منفی باشد، باید جهت نامعادله را عوض کنیم، اما چون علامت آن برای تمام مقادیر x یکسان نیست، نمیتوانیم یک قانون ثابت برای همه حالات اعمال کنیم. در نتیجه، ساختار استاندارد a
❓ چالش 2: اگر نامعادله به صورت f(x) b بود، آیا میتوانیم آن را به صورت دوگانه بنویسیم؟
پاسخ: خیر. نامعادله دوگانه استاندارد مانند a
پاسخ: خیر. نامعادله دوگانه استاندارد مانند a
❓ چالش 3: چرا گاهی جواب یک نامعادله دوگانه «تهی» میشود؟
پاسخ: این اتفاق زمانی میافتد که دو شرط «و» (and) با یکدیگر ناسازگار باشند. مثلاً نامعادله $x و $x > 5$ را در نظر بگیرید. هیچ عدد حقیقی نمیتواند همزمان هم از 2 کوچکتر و هم از 5 بزرگتر باشد. بنابراین مجموعه جواب، تهی است. در حل نامعادلات دوگانه پیوسته، اگر پس از عملیات به تناقضی مانند 5 برسیم، پاسخ تهی خواهد بود.
پاسخ: این اتفاق زمانی میافتد که دو شرط «و» (and) با یکدیگر ناسازگار باشند. مثلاً نامعادله $x و $x > 5$ را در نظر بگیرید. هیچ عدد حقیقی نمیتواند همزمان هم از 2 کوچکتر و هم از 5 بزرگتر باشد. بنابراین مجموعه جواب، تهی است. در حل نامعادلات دوگانه پیوسته، اگر پس از عملیات به تناقضی مانند 5 برسیم، پاسخ تهی خواهد بود.
? خلاصه نکات کلیدی:
- نامعادله دوگانه فرم فشردهای از دو نامعادله با شرط «و» (and) است که یک عبارت را بین دو کران بالا و پایین محدود میکند .
- در حین حل، هر عملی (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم) باید بر روی هر سه بخش نامعادله به طور همزمان انجام شود.
- ضرب یا تقسیم بر عدد منفی، جهت هر دو نامعادله را معکوس میکند.
- پاسخ نهایی معمولاً به صورت یک بازه (مانند $[a,b)$) روی محور اعداد حقیقی نمایش داده میشود .
- اگر دو شرط ناسازگار باشند، مجموعه جواب تهی است.
پاورقیها
- 1نامعادله دوگانه (Compound Inequality): به عبارتی ریاضی گفته میشود که در آن دو نامعادله توسط عملگرهای «و» (and) یا «یا» (or) به هم متصل شدهاند. شکل a متداولترین نوع آن است که بیانگر اشتراک دو شرط x > a و x
- 2بازه (Interval): نمایشی از یک زیرمجموعه از اعداد حقیقی روی محور اعداد. برای مثال، بازه [a,b) شامل تمام اعداد بین a و b است که a را شامل میشود (کران بسته) و b را شامل نمیشود (کران باز).
- 3عملگر منطقی (Logical Operator): نمادهایی مانند «و» (∧) و «یا» (∨) که برای ترکیب دو گزاره شرطی به کار میروند. در نامعادلات، «و» به معنای برقراری همزمان هر دو شرط و «یا» به معنای برقراری حداقل یکی از شرایط است.
