تقسیم علامتها: روش ترکیب علامت صورت و مخرج
مفهوم «علامت» یک عبارت جبری
منظور از علامت یک عبارت جبری مانند $f(x)$ این است که بدانیم برای هر مقدار مشخص از $x$، حاصل این عبارت، عددی مثبت، منفی یا صفر است. برای مثال، اگر تابع دمای یک ماده در طول زمان به صورت $T(t)=t^{2}-4$ تعریف شده باشد، دانستن اینکه در چه لحظاتی دما بالای صفر (مثبت) یا زیر صفر (منفی) است، یک کاربرد عملی از تعیین علامت است . درک این مفهوم، پایه حل بسیاری از مسائل ریاضی، بهویژه نامعادلات است.
عبارت کسری (گویا) و اجزای آن
یک عبارت کسری یا گویا1 به صورت کسر دو چندجملهای تعریف میشود: $R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$، که در آن $P(x)$ را «صورت»2 و $Q(x)$ را «مخرج»3 مینامند . برای تعیین علامت این عبارت، باید بهطور جداگانه علامت صورت و مخرج را بررسی کنیم.
اصل بنیادین: ترکیب علامتها
مهمترین اصل در این بحث، قانون ساده زیر است:
- مثبت ÷ مثبت = مثبت
- مثبت ÷ منفی = منفی
- منفی ÷ مثبت = منفی
- منفی ÷ منفی = مثبت
گامهای عملی برای تعیین علامت یک عبارت کسری
برای تعیین علامت یک عبارت گویا مانند $\frac{P(x)}{Q(x)}$، مراحل زیر را به ترتیب انجام میدهیم :
- یافتن نقاط مرزی (ریشهها):
- ریشههای صورت ($P(x)=0$): در این نقاط، مقدار کل کسر صفر است.
- ریشههای مخرج ($Q(x)=0$): در این نقاط، عبارت کسری تعریفنشده است (چون تقسیم بر صفر معنا ندارد). این نقاط را با علامت ∞ (بینهایت) در نظر میگیریم، زیرا عبارت در نزدیکی آنها به سمت بینهایت میل میکند .
- رسم محور اعداد: یک خط افقی رسم کرده و تمام نقاط یافتشده از گام اول را به ترتیب از کوچک به بزرگ روی آن علامت میزنیم. این نقاط، محور را به چند بازه تقسیم میکنند.
- تعیین علامت صورت و مخرج بهطور جداگانه: در هر بازه، یک نقطه به عنوان نمونه انتخاب میکنیم (مثلاً یک عدد ساده) و آن را در $P(x)$ و $Q(x)$ قرار میدهیم تا علامت هر کدام در آن بازه مشخص شود.
- ترکیب علامتها: علامت کلی کسر در هر بازه از ضرب علامت صورت و علامت مخرج در همان بازه بهدست میآید. نتیجه را بهصورت $+$ یا $-$ در زیر محور (یا در یک جدول) ثبت میکنیم.
- ثبت وضعیت نقاط مرزی: روی ریشههای صورت، عدد 0 و روی ریشههای مخرج، علامت ∞ (تعریفنشده) را قرار میدهیم.
مثال علمی و تشریحی (کسر خطی به خطی)
عبارت $f(x)=\frac{x-1}{x+2}$ را در نظر بگیرید. میخواهیم علامت آن را تعیین کنیم .
- گام ۱ (ریشهها):
- صورت: $x-1=0 \Rightarrow x=1$
- مخرج: $x+2=0 \Rightarrow x=-2$
- گام ۲ (محور اعداد): نقاط -2 و 1 را روی محور قرار میدهیم. این کار سه بازه ایجاد میکند: $(-\infty, -2)$، $(-2, 1)$ و $(1, +\infty)$.
- گام ۳ و ۴ (آزمایش و ترکیب): برای هر بازه، یک نقطه انتخاب و جدول زیر را تکمیل میکنیم.
| بازه | نقطه آزمایشی (x) | علامت $x-1$ | علامت $x+2$ | علامت کسر $f(x)$ |
|---|---|---|---|---|
| $(-\infty, -2)$ | x = -3 | (-3)-1 = -4 منفی | (-3)+2 = -1 منفی | (منفی) ÷ (منفی) = مثبت (+) |
| $(-2, 1)$ | x = 0 | (0)-1 = -1 منفی | (0)+2 = 2 مثبت | (منفی) ÷ (مثبت) = منفی (-) |
| $(1, +\infty)$ | x = 2 | (2)-1 = 1 مثبت | (2)+2 = 4 مثبت | (مثبت) ÷ (مثبت) = مثبت (+) |
نتیجه: عبارت $f(x)$ برای $x \lt -2$ مثبت، برای $-2 \lt x \lt 1$ منفی، برای $x \gt 1$ مثبت، در $x=1$ صفر و در $x=-2$ تعریفنشده است.
مثال: عبارت با درجه بالاتر (درجه دوم به درجه دوم)
عبارت $g(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{2}-1}$ را تعیین علامت کنید.
- گام ۱ (ریشهها):
- صورت: $x^{2}-4=0 \Rightarrow (x-2)(x+2)=0$ بنابراین $x= \pm 2$.
- مخرج: $x^{2}-1=0 \Rightarrow (x-1)(x+1)=0$ بنابراین $x= \pm 1$.
- گام ۲ (محور اعداد): نقاط را به ترتیب روی محور مرتب میکنیم: -2، -1، 1، 2. این نقاط، محور را به پنج بازه تقسیم میکنند.
- گام ۳ و ۴ (آزمایش و ترکیب): برای سادگی، میتوان جدولی به شکل زیر تهیه کرد که در آن علامت هر عامل (مانند $x+2$, $x+1$, ...) جداگانه بررسی و سپس ضرب شود .
| بازه | $(-\infty,-2)$ | $(-2,-1)$ | $(-1,1)$ | $(1,2)$ | $(2,\infty)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| علامت $x+2$ | - | + | + | + | + |
| علامت $x-2$ | - | - | - | - | + |
| علامت $x+1$ | - | - | + | + | + |
| علامت $x-1$ | - | - | - | + | + |
| علامت $g(x)$ | + | - | + | - | + |
نتیجه: عبارت در نقاط $x= \pm 2$ صفر و در نقاط $x= \pm 1$ تعریفنشده است. علامت آن در بازههای مختلف مطابق جدول است.
کاربرد عملی: حل یک نامعادله
فرض کنید میخواهیم نامعادله $\frac{x^{2}-4}{x^{2}-1} \ge 0$ را حل کنیم. کافی است از نتیجه تعیین علامت در مثال قبل استفاده کنیم. ما به دنبال بازههایی هستیم که عبارت $g(x)$ علامت مثبت (+) یا صفر (0) داشته باشد. با توجه به جدول و نقاط مرزی، مجموعه جواب برابر است با: $(-\infty, -2] \cup (-1,1) \cup [2, +\infty)$. (توجه کنید که نقاط $x= \pm 1$ به دلیل تعریفنشده بودن، در جواب نمیآیند).
چالشهای مفهومی
❓ سوال ۱: اگر صورت یک کسر صفر باشد، علامت آن چیست؟
✅ پاسخ: اگر صورت یک کسر صفر باشد (مانند $\frac{0}{x+2}$)، ارزش کل کسر برای هر $x$ای که مخرج را صفر نکند، برابر با صفر است. بنابراین، کسر نه مثبت است و نه منفی؛ بلکه دقیقاً برابر با صفر است . در تعیین علامت، این نقاط را با عدد 0 نشان میدهیم.
❓ سوال ۲: اگر علامت صورت و مخرج هر دو یکسان باشد، علامت نهایی چیست؟
✅ پاسخ: طبق اصل تقسیم علامتها، اگر دو عدد غیرصفر همنشانی (هر دو مثبت یا هر دو منفی) باشند، حاصل تقسیم آنها یک عدد مثبت خواهد بود. بنابراین، علامت کسر در آن بازه مثبت است. این یکی از کلیدیترین نکات برای پر کردن سریع جدول تعیین علامت است.
❓ سوال ۳: چرا در تعیین علامت عبارت کسری، ریشههای مخرج را با علامت ∞ نشان میدهیم؟
✅ پاسخ: در ریاضیات، تقسیم هر عدد غیرصفر بر صفر تعریفنشده است و مقدار آن به سمت بینهایت میل میکند . وقتی $x$ به ریشه مخرج نزدیک میشود، قدر مطلق کسر بسیار بزرگ (بینهایت) میشود. علامت ∞ (بینهایت) در جدول، یادآور این نکته است که تابع در این نقطه تعریفنشده و دچار یک ناپیوستگی است و هنگام نوشتن جواب نامعادله، این نقاط هرگز در جواب نهایی قرار نمیگیرند (مگر با شرط $=$ که هرگز برای مخرج صادق نیست).
پاورقیها
1عبارت گویا (Rational Expression): عبارتی که به صورت نسبت دو چندجملهای نوشته میشود.
2صورت (Numerator): بخش بالایی یک کسر که تعداد بخشهای انتخابشده را نشان میدهد .
3مخرج (Denominator): بخش پایینی یک کسر که نشاندهنده تعداد کل بخشهای مساوی یک کل است .
