تقسیم دو عبارت جبری: از صورت تا مخرج
۱. مفهوم کسر جبری و شرایط تعریف
به زبان ساده، هرگاه دو عبارت جبری را بر هم تقسیم کنیم، یک کسر جبریعبارت گویا به دست میآید. شکل کلی یک کسر جبری به صورت $\frac{P}{Q}$ است که در آن $P$ و $Q$ عبارتهای جبری (مانند چندجملهایها) هستند. مهمترین نکته در مورد هر کسر، چه عددی و چه جبری، این است که مخرج آن هرگز نباید صفر باشد. بنابراین اولین گام در مواجهه با یک کسر جبری، تعیین مجموعه مقادیری از متغیر است که به ازای آنها مخرج کسر مخالف صفر است. به این مجموعه، دامنه$^1$ کسر گویا میگویند.
۲. گامهای اساسی در سادهسازی کسرهای جبری
هدف از سادهسازی یک کسر جبری، رسیدن به کسری است که صورت و مخرج آن عامل مشترکی (به جز $1$) نداشته باشند. این کار با فاکتورگیری از صورت و مخرج و سپس حذف عوامل مشترک انجام میشود. بیایید این فرآیند را در قالب یک جدول و با مثال دنبال کنیم:
| گام | شرح عملیات | مثال: $\frac{x^2-4}{x^2+2x}$ |
|---|---|---|
| 1 | تعیین دامنه (شرط مخرج) | $x^2+2x \neq 0 \Rightarrow x(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ و $x \neq -2$ |
| 2 | فاکتورگیری صورت و مخرج | $\frac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)}$ |
| 3 | حذف عامل مشترک (با در نظر گرفتن دامنه) | $\frac{x-2}{x}$به شرط $x\neq 0, -2$ |
| 4 | نوشتن کسر سادهشده به همراه دامنه | $\frac{x-2}{x}$ برای $x \neq 0, -2$ |
همانطور که مشاهده میکنید، حذف عامل $(x+2)$ تنها زمانی مجاز است که $x \neq -2$ باشد، که این شرط قبلاً در دامنه ذکر شده است.
۳. ضرب و تقسیم کسرهای جبری در عمل
عملیات ضرب و تقسیم روی کسرهای جبری مشابه کسرهای عددی انجام میشود. در ضرب، صورتها در هم و مخرجها در هم ضرب میشوند. در تقسیم، کسر اول در وارون کسر دوم ضرب میگردد. فراموش نکنید که ابتدا دامنه عبارت نهایی را با توجه به مخرجهای اولیه و مخرج کسر دوم (در تقسیم) تعیین کنیم.
مثال عینی از تقسیم: فرض کنید میخواهیم دو کسر جبری $\frac{x}{x-1}$ و $\frac{x^2}{x^2-1}$ را بر هم تقسیم کنیم.
حال صورت و مخرج را فاکتور میگیریم و ساده میکنیم:
با حذف عوامل مشترک $x$ و $(x-1)$ به شرط مخالف صفر بودنشان، به نتیجه زیر میرسیم:
در اینجا، دامنه از کنار هم گذاشتن شرایط به دست میآید: $x-1 \neq 0$، $x^2-1 \neq 0$ (که خود شامل $x \neq \pm 1$ است) و همچنین $x^2 \neq 0$ (یعنی $x \neq 0$).
۴. کاربرد عملی: سادهسازی عبارات پیچیده مرکب
کسرهای جبری اغلب در عبارات کسری مرکب (تقسیم دو کسر بر هم یا کسرهایی با صورت یا مخرج کسری) ظاهر میشوند. برای سادهسازی این عبارات، دو روش رایج وجود دارد: استفاده از اصل تقسیم (ضرب در وارون) یا استفاده از مخرج مشترک. در اینجا یک مثال ترکیبی را بررسی میکنیم.
عبارت $\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$ را در نظر بگیرید. این یک عبارت مرکب است. برای سادهسازی، میتوانیم از روش مخرج مشترک استفاده کنیم:
دامنه این عبارت شامل تمامی مراحل است: $x \neq 0$ (به دلیل وجود $\frac{1}{x}$) و $x \neq 1$ (به دلیل مخرج نهایی). این مثال نشان میدهد که چگونه کسرهای جبری به ما کمک میکنند تا عبارات به ظاهر پیچیده را به شکل سادهتری بنویسیم.
۵. چالشهای مفهومی در مواجهه با کسرهای جبری
پاسخ: خیر. این دو عبارت تنها برای مقادیری از $x$ که $x \neq 1$ باشند با هم برابرند. در $x=1$، کسر جبری تعریفنشده است (چون مخرج صفر میشود)، در حالی که عبارت $x+2$ تعریفشده و برابر $3$ است. به همین دلیل، ذکر دامنه پس از سادهسازی ضروری است.
پاسخ: ابتدا کسر را ساده میکنیم: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3$ به شرط $x \neq 3$. بنابراین در $x=3$، کسر اصلی تعریفنشده است و نمیتوانیم از فرم سادهشده برای محاسبه مقدار آن استفاده کنیم. اما اگر بخواهیم حد عبارت را وقتی $x$ به $3$ نزدیک میشود پیدا کنیم، آن حد برابر $6$ است.
پاسخ: خیر. صورت این کسر ($x^2+1$) در مجموعه اعداد حقیقی قابل تجزیه نیست و با مخرج ($x+1$) عامل مشترکی ندارد. بنابراین این کسر در سادهترین شکل خود باقی میماند و دامنه آن $x \neq -1$ است.
۶. مقایسه کسرهای جبری با کسرهای عددی
برای درک بهتر، شباهتها و تفاوتهای کسرهای جبری و عددی را در جدول زیر مرور میکنیم:
| ویژگی | کسر عددی (مثال: $\frac{6}{4}$) | کسر جبری (مثال: $\frac{x^2-9}{x-3}$) |
|---|---|---|
| شرط تعریف | مخرج باید مخالف صفر باشد. ($4 \neq 0$) | مخرج باید مخالف صفر باشد. ($x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$) |
| روش سادهسازی | یافتن بزرگترین مقسومعلیه مشترک اعداد ($\frac{3}{2}$) | فاکتورگیری و یافتن عوامل مشترک ($x+3$ برای $x \neq 3$) |
| دامنه مقادیر مجاز | تمام اعداد حقیقی (به جز ریشههای مخرج) | مجموعهای از اعداد حقیقی که مخرج را صفر نکنند. |
پاورقی
1 دامنه (Domain): در ریاضیات، به مجموعه همه مقادیر ورودی (معمولاً مقادیر متغیر) که یک تابع یا عبارت برای آنها تعریف شده باشد، دامنه میگویند. برای یک کسر جبری، دامنه شامل تمام اعداد حقیقی به جز ریشههای مخرج است.
