تعیین علامت: مشخص کردن مثبت، منفی یا صفر بودن مقدار یک عبارت برای xهای مختلف

تعیین علامت: نقشه راهی برای شناخت رفتار توابع

۱. تعیین علامت چیست و چرا اهمیت دارد؟

تعیین علامت در ریاضیات به معنای یافتن بازه‌هایی از اعداد حقیقی است که در آن‌ها مقدار یک عبارت (مانند $f(x)$) بزرگ‌تر از صفر (مثبت)، کوچک‌تر از صفر (منفی) یا دقیقاً برابر با صفر باشد. این کار به ما دیدگاه عمیقی نسبت به رفتار تابع می‌دهد. برای مثال، اگر بدانیم که سرعت یک خودرو (که تابعی از زمان است) در یک بازه زمانی منفی است، متوجه می‌شویم که خودرو در حال حرکت در جهت مخالف است. یا در اقتصاد، اگر تابع سود یک شرکت منفی شود، به معنای زیان‌ده بودن آن شرکت است.

اهمیت تعیین علامت زمانی دوچندان می‌شود که به سراغ حل نامعادلات می‌رویم. نامعادله‌ای مانند $x^{2} - 5x + 6 \gt 0$ را نمی‌توان با روش‌های ساده معادلات حل کرد. در اینجا، هنر تعیین علامت به کمک ما می‌آید.

بیایید با یک مثال روزمره شروع کنیم. فرض کنید در حال اندازه‌گیری دمای یک ماده در طول زمان هستیم. دمای ماده توسط تابع $T(t) = t^{2} - 4t + 3$ (برحسب درجه سانتی‌گراد) مدل‌سازی شده است. می‌خواهیم بدانیم در چه لحظاتی دمای ماده بالای صفر (مثبت)، زیر صفر (منفی) و یا دقیقاً صفر درجه است. پاسخ به این سوال، همان تعیین علامت تابع $T(t)$ است.

۲. گام‌های اساسی در تعیین علامت

برای تعیین علامت یک عبارت جبری (معمولاً چندجمله‌ای یا کسر گویا)، یک روش نظام‌مند و گام‌به‌گام وجود دارد که در ادامه تشریح می‌شود.

• گام اول: یافتن نقاط مرزی (ریشه‌ها)
  نقاطی که عبارت در آن‌ها صفر می‌شود یا تعریف نشده است (در مورد کسرها، نقاطی که مخرج صفر می‌شود) را پیدا می‌کنیم. برای چندجمله‌ای‌ها، این نقاط همان ریشه‌های معادله $f(x)=0$ هستند. برای مثال در تابع درجه‌ دوم $x^{2} - 5x + 6$، ریشه‌ها $x=2$ و $x=3$ هستند.
• گام دوم: رسم محور اعداد و مرتب‌سازی نقاط
  یک محور افقی رسم می‌کنیم و نقاط به‌دست‌آمده از گام اول را به ترتیب از کوچک به بزرگ روی آن قرار می‌دهیم. این نقاط، محور اعداد را به چند بازه تقسیم می‌کنند.
• گام سوم: انتخاب یک نقطه آزمایشی در هر بازه
  از هر بازه، یک عدد دلخواه (و ساده، مثلاً $x=0$) انتخاب کرده و آن را در عبارت اصلی جایگذاری می‌کنیم. علامت حاصل (مثبت یا منفی) را یادداشت می‌کنیم.
• گام چهارم: تعیین علامت ریشه‌ها و نقاط ناپیوستگی
  در خود نقاط مرزی، مقدار عبارت صفر است (اگر ریشه باشند) یا تعریف‌نشده (در صورت وجود مخرج صفر). این نقاط معمولاً در جواب نامعادله لحاظ نمی‌شوند مگر آن‌که نامساوی از نوع $\ge$ یا $\le$ باشد.

۳. تعیین علامت عبارت‌های درجه‌ دوم

عبارت درجه‌ دوم به شکل عمومی $ax^{2}+bx+c$ است. مهم‌ترین نکته در تعیین علامت این عبارات، توجه به علامت ضریب $a$ است.

اگر معادله $ax^{2}+bx+c=0$ دارای دو ریشهٔ متمایز مانند $x_1$ و $x_2$ (با فرض $x_1 \lt x_2$) باشد، آنگاه:

• اگر $a \gt 0$، عبارت بین دو ریشه ($x_1 \lt x \lt x_2$) منفی و در خارج از این بازه مثبت است.
• اگر $a \lt 0$، عبارت بین دو ریشه مثبت و در خارج از این بازه منفی است.

این قانون معروف به «قانون $a$ و $\Delta$» است. دلتا ($\Delta$) تعیین می‌کند که چند ریشه داریم و $a$ تعیین می‌کند که علامت‌ها چگونه توزیع شوند.

برای مثال، در مسئله دمای ماده، ما تابع $T(t)=t^{2} - 4t + 3$ را داشتیم. ریشه‌ها: $t=1$ و $t=3$. چون $a=1 \gt 0$ است، نتیجه می‌گیریم که دما در بازه $1 \lt t \lt 3$ منفی، و برای $t \lt 1$ یا $t \gt 3$ مثبت است. در لحظات $t=1$ و $t=3$ دما صفر درجه است.

۴. تعیین علامت عبارت‌های گویا

عبارت گویا به صورت کسر دو چندجمله‌ای $\frac{P(x)}{Q(x)}$ است. در اینجا، نقاط مرزی دو دسته‌اند: ریشه‌های صورت ($P(x)=0$) که کسر را صفر می‌کنند، و ریشه‌های مخرج ($Q(x)=0$) که کسر در آن‌ها تعریف‌نشده است. هر دو دسته روی محور علامت‌گذاری می‌شوند.

مثال: عبارت $f(x)=\frac{x-1}{x+2}$ را در نظر بگیرید. ریشه صورت: $x=1$، ریشه مخرج: $x=-2$. با قرار دادن این دو نقطه روی محور، سه بازه $(-\infty, -2)$، $(-2, 1)$ و $(1, +\infty)$ به وجود می‌آید. با انتخاب نقاط آزمایشی (مثلاً $x=-3$، $x=0$ و $x=2$) و جایگذاری در کسر، به ترتیب علامت‌های مثبت، منفی و مثبت به‌دست می‌آید.

برای درک بهتر، جدول زیر علامت این عبارت را در بازه‌های مختلف نشان می‌دهد:

۵. کاربرد عملی: حل نامعادلات

مهم‌ترین کاربرد تعیین علامت، حل نامعادلات است. فرض کنید می‌خواهیم نامعادله $\frac{x^{2}-4}{x-1} \le 0$ را حل کنیم.

• گام ۱ (یافتن نقاط مرزی): ریشه‌های صورت: $x^{2}-4=0 \Rightarrow x = \pm 2$. ریشه مخرج: $x-1=0 \Rightarrow x=1$.
• گام ۲ (رسم محور): نقاط $x=-2$، $x=1$ و $x=2$ را روی محور مرتب می‌کنیم.
• گام ۳ (آزمایش نقاط): در بازه‌های $(-\infty,-2)$ (نقطه $x=-3$)، $(-2,1)$ (نقطه $x=0$)، $(1,2)$ (نقطه $x=1.5$) و $(2,+\infty)$ (نقطه $x=3$) علامت کسر را به ترتیب: منفی، مثبت، منفی، مثبت به‌دست می‌آوریم.
• گام ۴ (نوشتن جواب): نامعادله خواسته که کسر کوچک‌تر یا مساوی صفر باشد. بنابراین بازه‌های منفی را برمی‌داریم: $(-\infty,-2]$ و $(1,2]$. دقت کنید که در $x=1$ کسر تعریف‌نشده است، پس آن را در جواب نمی‌آوریم.

۶. چالش‌های مفهومی

پاورقی

¹عبارت جبری (Algebraic Expression): ترکیبی از ثابت‌ها، متغیرها و عملیات جبری (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، توان) که با استفاده از نمادهای ریاضی نوشته می‌شود.
²ریشه (Root): به مقادیری از متغیر گفته می‌شود که مقدار عبارت را برابر صفر قرار می‌دهند.
³عبارت گویا (Rational Expression): کسری که صورت و مخرج آن چندجمله‌ای هستند.
⁴دلتا (Delta/Δ): در معادله درجه‌ دوم $ax^{2}+bx+c=0$، مقدار $\Delta = b^{2} - 4ac$ که تعیین‌کننده نوع و تعداد ریشه‌ها است.