مجموعهٔ جواب: از گزارهنما تا ارزش درستی
گزارهنما و ارزش درستی چیست؟
در ریاضیات، به جملهای که شامل یک متغیر است و با جایگذاری مقادیر مختلف به جای آن متغیر، ارزش درستی (درست یا نادرست) پیدا میکند، گزارهنما میگویند. برای مثال، عبارت $x + 2 = 5$ یک گزارهنما است. اگر به جای $x$ عدد 3 را قرار دهیم، جمله $3 + 2 = 5$ یک گزارهٔ درست است. اما اگر عدد 4 را جایگذاری کنیم، جمله $4 + 2 = 5$ یک گزارهٔ نادرست خواهد بود. به مجموعهای از همهٔ مقادیری که با جایگذاری آنها، گزارهنما به یک گزارهٔ درست تبدیل شود، مجموعهٔ جواب میگوییم. دامنهٔ متغیر معمولاً مجموعه اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$) است، مگر اینکه خلاف آن ذکر شود.
برای روشن شدن موضوع، یک مثال روزمره میزنیم: فرض کنید میگوییم «شهر $x$ پایتخت ایران است». این یک گزارهنماست. اگر $x$ را برابر تهران قرار دهیم، گزاره درست میشود و اگر $x$ را برابر اصفهان بگذاریم، گزاره نادرست میشود. بنابراین مجموعه جواب این گزارهنما تنها یک عضو دارد: $\{\text{تهران}\}$.
معادلات و مجموعه جواب آنها
رایجترین نوع گزارهنماها در ریاضیات دبیرستان، معادلات هستند. یک معادله، تساوی دو عبارت جبری است که در آن یک یا چند مجهول وجود دارد. هدف از حل یک معادله، یافتن مجموعه جواب آن، یعنی تمام مقادیری از مجهول است که تساوی را برقرار میکنند. برای مثال، معادله $2x - 4 = 0$ را در نظر بگیرید. با انجام عملیات جبری:
$2x - 4 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$
بنابراین، مجموعه جواب این معادله $\{2\}$ است. اما همه معادلات لزوماً یک جواب منحصربهفرد ندارند. برخی معادلات ممکن است چندین جواب، بیشمار جواب یا حتی هیچ جوابی نداشته باشند.
| نوع معادله | مثال | مجموعه جواب | توضیح |
|---|---|---|---|
| خطی | $3x + 1 = 7$ | $\{2\}$ | یک جواب منحصربهفرد |
| درجه دوم | $x^2 - 5x + 6 = 0$ | $\{2, 3\}$ | دو جواب حقیقی |
| نامتناهی جواب | $2x + 1 = 2x + 1$ | $\mathbb{R}$ | همواره برقرار است (اتحاد) |
| بدون جواب | $x = x + 1$ | $\varnothing$ | هیچ عضوی شرط را برآورده نمیکند |
نامعادلات و نمایش مجموعه جواب
گزارهنماها تنها به علامت مساوی محدود نمیشوند. نامعادلات ($\lt$, $\gt$, $\le$, $\ge$) نیز نوع مهم دیگری از گزارهنماها هستند. مجموعه جواب یک نامعادله، اغلب یک بازه از اعداد است. برای مثال، نامعادله $x - 2 \gt 0$ را در نظر بگیرید. این نامعادله به $x \gt 2$ تبدیل میشود. مجموعه جواب آن همه اعداد حقیقی بزرگتر از 2 است که به صورت بازه $(2, +\infty)$ نمایش داده میشود.
برای نمایش دقیق مجموعه جواب نامعادلات، معمولاً از نمادهای بازه و همچنین خط اعداد استفاده میکنیم. به عنوان مثال، مجموعه جواب نامعادله $-1 \le x \lt 3$ به صورت $[-1, 3)$ نوشته میشود که یعنی تمام اعداد حقیقی بین 1- و 3، شامل 1- و بهجز 3.
کاربرد عملی: دستگاه معادلات و مسائل کلامی
مفهوم مجموعه جواب در حل مسائل کلامی و کاربردی نقش بسیار مهمی دارد. در این مسائل، ابتدا باید صورت مسئله را به یک یا چند گزارهنمای ریاضی (معادله یا نامعادله) تبدیل کنیم. سپس با حل آنها، مجموعه جواب را پیدا کرده و در نهایت، آن را در بستر مسئله تفسیر میکنیم.
مثال: مجموع دو عدد $12$ و اختلاف آنها 4 است. آن دو عدد را بیابید.
حل: اگر دو عدد را $x$ و $y$ بنامیم، دو گزارهنما خواهیم داشت:
$x + y = 12$ (معادله اول)
$x - y = 4$ (معادله دوم)
این دو معادله یک دستگاه خطی را تشکیل میدهند. مجموعه جواب این دستگاه، مقادیری از $x$ و $y$ هستند که هر دو معادله را همزمان درست کنند. با حل دستگاه (مثلاً به روش جمعی) داریم:
$(x+y)+(x-y) = 12+4 \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x = 8$
$8 + y = 12 \Rightarrow y = 4$
بنابراین مجموعه جواب دستگاه شامل یک زوج مرتب است: $\{(8, 4)\}$. تفسیر مسئله: دو عدد مورد نظر 8 و 4 هستند.
چالشهای مفهومی
❓ چالش اول: آیا ممکن است یک گزارهنما مجموعه جواب تهی داشته باشد؟
بله، کاملاً ممکن است. هرگاه هیچ عضوی از دامنه نتواند گزارهنما را به گزارهای درست تبدیل کند، مجموعه جواب تهی ($\varnothing$) خواهد بود. به عنوان مثال، گزارهنمای $x^2 = -1$ را در دامنه اعداد حقیقی در نظر بگیرید. هیچ عدد حقیقیای وجود ندارد که مربع آن منفی شود، بنابراین مجموعه جواب آن تهی است.
❓ چالش دوم: تفاوت بین ریشه یک معادله و مجموعه جواب آن چیست؟
ریشه یک معادله (بهویژه معادلات چندجملهای) به مقادیری از متغیر گفته میشود که معادله را برقرار میکنند. در حقیقت، ریشهها همان اعضای مجموعه جواب هستند. اما مفهوم مجموعه جواب عامتر است و برای همه انواع گزارهنماها (از جمله نامعادلات) به کار میرود. برای مثال، در معادله $x^2-5x+6=0$، اعداد 2 و 3 ریشههای معادله و همچنین اعضای مجموعه جواب آن هستند.
❓ چالش سوم: آیا مجموعه جواب یک گزارهنما میتواند شامل بینهایت عضو باشد؟ چگونه آن را نمایش میدهیم؟
بله، مانند مثالهای نامعادلات یا معادلات اتحاد. برای نمایش مجموعههای بینهایت از نماد بازه یا نمادهای مجموعهسازی استفاده میکنیم. برای گزارهنمای $x \ge 0$، مجموعه جواب $[0, +\infty)$ است. برای گزارهنمای $x + y = 1$ در دستگاه مختصات، مجموعه جواب شامل بینهایت زوج مرتب است که به صورت یک خط راست نمایش داده میشود.
پاورقی
1 گزارهنما (Open Sentence): عبارتی شامل متغیر که با جایگذاری مقادیر، به یک گزاره منطقی تبدیل میشود.2 ارزش درستی (Truth Value): وضعیت یک گزاره که میتواند درست (True) یا نادرست (False) باشد.
3 معادله (Equation): یک گزارهنمای ریاضی که در آن تساوی دو عبارت ریاضی برقرار است.
4 نامعادله (Inequality): یک گزارهنمای ریاضی که در آن رابطه نامساوی ($\lt$, $\gt$, $\le$, $\ge$) بین دو عبارت ریاضی برقرار است.
5 مجموعه جواب (Solution Set): مجموعه تمام مقادیری از متغیر(ها) که گزارهنما را به یک گزاره درست تبدیل میکنند.
