رأس سهمی: نقطهٔ اوج و فرود منحنیهای درجه دوم
کشف اهمیت نقطهٔ تغییر جهت در سهمیها، از فرمول ریاضی تا کاربردهای بهینهسازی در زندگی روزمره
خلاصهٔ سئوپسند: رأس سهمی (Vertex) یک نقطهٔ کلیدی در توابع درجه دوم است که نشاندهندهٔ کمینه یا بیشینه مقدار تابع میباشد. با استفاده از فرمولهای استاندارد مانند $x_v = -\frac{b}{2a}$ میتوان مختصات این نقطه را یافت. درک مفهوم رأس در مسائل بهینهسازی، فیزیک (مانند مسیر پرتابهها) و مهندسی (طراحی سازههای سهموی) کاربرد گستردهای دارد. این مقاله به زبان ساده به بررسی نحوه محاسبه، تعیین نوع (کمینه یا بیشینه) و مثالهای عملی از این مفهوم بنیادین میپردازد.
۱. رأس سهمی چیست؟ تعریف و جایگاه هندسی
رأس یک سهمی (Vertex of a Parabola) نقطهای است که منحنی در آن تغییر جهت میدهد. به عبارت دیگر، اگر سهمی را به شکل یک کوه یا دره در نظر بگیریم، رأس نقطهٔ نوک قله یا عمیقترین نقطهٔ دره است . این نقطه درست روی محور تقارن (Axis of Symmetry) سهمی قرار دارد و منحنی را به دو بخش کاملاً قرینه تقسیم میکند. از نظر هندسی، رأس دقیقاً در میانهٔ فاصلهٔ بین کانون و خط هادی سهمی واقع شده است . نوع رأس به جهت باز شدن دهانهٔ سهمی بستگی دارد که توسط ضریب $a$ در معادلهٔ استاندارد $y = ax^2 + bx + c$ تعیین میشود :- اگر $a \gt 0$ باشد، دهانهٔ سهمی رو به بالا است (شکل $\cup$) و رأس به عنوان پایینترین نقطه (کمینه) عمل میکند.
- اگر $a \lt 0$ باشد، دهانهٔ سهمی رو به پایین است (شکل $\cap$) و رأس به عنوان بالاترین نقطه (بیشینه) عمل میکند.
۲. فرمولهای طلایی محاسبه مختصات رأس
برای یافتن مختصات دقیق رأس $(x_v, y_v)$ دو روش اصلی وجود دارد که هر دو به نتیجهٔ یکسانی میرسند. روش اول: استفاده از فرمول مستقیم اگر معادلهٔ سهمی به صورت $y = ax^2 + bx + c$ باشد، طول رأس از رابطهٔ زیر به دست میآید :
فرمول طول رأس:$x_v = -\frac{b}{2a}$
پس از یافتن $x_v$، کافی است آن را در معادلهٔ اصلی جایگذاری کنیم تا عرض رأس ($y_v$) به دست آید:
فرمول عرض رأس:$y_v = a(x_v)^2 + b(x_v) + c$
برای سهولت، میتوان از فرمول مستقیم $y_v = -\frac{\Delta}{4a}$ نیز استفاده کرد که در آن $\Delta = b^2 - 4ac$ است .
روش دوم: تکمیل مربع
در این روش، معادلهٔ درجه دوم را به فرم $y = a(x - h)^2 + k$ تبدیل میکنیم. در این حالت، رأس مستقیماً و بدون محاسبهٔ اضافی، نقطهٔ $(h, k)$ خواهد بود . خط $x = h$ نیز همان محور تقارن سهمی است. این روش برای رسم سریع نمودار بسیار مفید است.
۳. کاربرد عملی و مثالهای عینی
مثال اول (فیزیک): فرض کنید توپی را به سمت بالا پرتاب میکنیم و ارتفاع آن بر حسب زمان از رابطهٔ $h(t) = -5t^2 + 20t$ (بر حسب متر) به دست میآید. میخواهیم بدانیم توپ حداکثر چه ارتفاعی میگیرد و در چه زمانی به این ارتفاع میرسد. در اینجا $a = -5$ (منفی است، پس بیشینه داریم). زمان رسیدن به بیشینه (همان $t_v$) برابر است با: $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \times (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2$ ثانیه. حداکثر ارتفاع نیز برابر است با: $h(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -20 + 40 = 20$ متر. یعنی توپ در زمان 2 ثانیه به بیشترین ارتفاع خود یعنی 20 متر میرسد . مثال دوم (اقتصاد): یک شرکت متوجه شده است که سود روزانهٔ آن بر حسب تعداد محصول تولید شده ($x$) از رابطهٔ $P(x) = -2x^2 + 100x - 800$ (بر حسب هزار تومان) پیروی میکند. برای بیشینه کردن سود، شرکت باید چه تعدادی محصول تولید کند؟ در اینجا $a = -2$ است، پس سهمی دارای بیشینه است. تعداد بهینهٔ تولید از فرمول رأس به دست میآید: $x_v = -\frac{100}{2 \times (-2)} = -\frac{100}{-4} = 25$ واحد. بیشترین سود نیز $P(25) = -2(25)^2 + 100(25) - 800 = -1250 + 2500 - 800 = 450$ هزار تومان خواهد بود .۴. جدول مقایسهٔ انواع رأس بر اساس علامت a
| علامت ضریب $a$ | جهت دهانه | نوع رأس | مثال عددی |
|---|---|---|---|
| $a \gt 0$ | رو به بالا ($\cup$) | کمینه (Min) | $y = x^2 - 2x +1$ |
| $a \lt 0$ | رو به پایین ($\cap$) | بیشینه (Max) | $y = -x^2 + 4x$ |
۵. چالشهای مفهومی
❓ اگر در معادلهٔ $y=ax^2+bx+c$، جملهٔ $bx$ حذف شود ($b=0$)، رأس کجا قرار میگیرد؟
✅ در این حالت، فرمول طول رأس به $x_v = -\frac{0}{2a} = 0$ تبدیل میشود. یعنی رأس سهمی دقیقاً روی محور $y$ها (عرض) و در نقطهٔ $(0, c)$ قرار دارد. سهمیهایی به این شکل، نسبت به محور $y$ها متقارن هستند.
✅ در این حالت، فرمول طول رأس به $x_v = -\frac{0}{2a} = 0$ تبدیل میشود. یعنی رأس سهمی دقیقاً روی محور $y$ها (عرض) و در نقطهٔ $(0, c)$ قرار دارد. سهمیهایی به این شکل، نسبت به محور $y$ها متقارن هستند.
❓ آیا ممکن است یک سهمی هم بیشینه داشته باشد و هم کمینه؟
✅ خیر. یک سهمی درجه دوم تنها یک نقطهٔ عطف دارد که یا بیشینه است یا کمینه. دلیل آن این است که سهمی تنها یک بار جهت خود را تغییر میدهد و پس از آن تا بینهایت ادامه مییابد .
✅ خیر. یک سهمی درجه دوم تنها یک نقطهٔ عطف دارد که یا بیشینه است یا کمینه. دلیل آن این است که سهمی تنها یک بار جهت خود را تغییر میدهد و پس از آن تا بینهایت ادامه مییابد .
❓ تفاوت بین رأس و نقطهٔ برخورد با محور $x$ها (ریشه) چیست؟
✅ رأس نقطهٔ اوج یا فرود منحنی است، در حالی که ریشهها نقاطی هستند که منحنی محور $x$ها را قطع میکند ($y=0$). یک سهمی میتواند $0$، $1$ (در این حالت رأس بر روی محور $x$ها قرار میگیرد) یا $2$ ریشه داشته باشد، اما همیشه فقط یک رأس دارد .
✅ رأس نقطهٔ اوج یا فرود منحنی است، در حالی که ریشهها نقاطی هستند که منحنی محور $x$ها را قطع میکند ($y=0$). یک سهمی میتواند $0$، $1$ (در این حالت رأس بر روی محور $x$ها قرار میگیرد) یا $2$ ریشه داشته باشد، اما همیشه فقط یک رأس دارد .
نگاه نهایی: رأس سهمی بسیار فراتر از یک نقطه در یک نمودار ریاضی است. این نقطه کلید حل بسیاری از مسائل بهینهسازی در دنیای واقعی است؛ از تعیین حداکثر ارتفاع یک پرتابه و طراحی مسیر حرکت گرفته تا محاسبه سطح بهینهٔ تولید برای کسب حداکثر سود یا حداقل هزینه. تسلط بر مفاهیم و فرمولهای مرتبط با رأس، ابزاری قدرتمند برای تحلیل و تصمیمگیری در اختیار دانشآموزان و علاقهمندان به ریاضیات کاربردی قرار میدهد.
پاورقی
- 1محور تقارن (Axis of Symmetry): خطی عمودی که از رأس سهمی میگذرد و آن را به دو نیمهٔ قرینه تقسیم میکند. معادلهٔ این خط همواره $x = x_v$ است .
- 2کمینه و بیشینه (Minimum and Maximum): به ترتیب کوچکترین و بزرگترین مقدار خروجی یک تابع در یک بازه مشخص یا در کل دامنه هستند. در سهمیها، این مقادیر در رأس رخ میدهند .
- 3تابع درجه دوم (Quadratic Function): تابعی به شکل $f(x)=ax^2+bx+c$ که در آن $a \neq 0$. نمودار این تابع یک سهمی است .
