همارزی (همارزشی) گزارهها در منطق و ریاضیات
منظور از «همارزی گزارهها» چیست؟
در منطق ریاضی، یک گزاره جملهای خبری است که یا درست است یا نادرست. به این ویژگی «ارزش» یا «مقدار درستی» میگوییم. دو گزاره وقتی همارز (یا همارزش) نامیده میشوند که در هر شرایط ممکن، ارزش یکسانی داشته باشند. به عبارت دیگر، اگر یکی از آنها درست باشد، دیگری هم حتماً درست است و اگر یکی نادرست باشد، دیگری نیز نادرست خواهد بود.
برای نشان دادن همارزی از نماد ≡ (سه خط) استفاده میکنیم. مثلاً اگر دو گزاره P و Q همارز باشند، مینویسیم: $P \equiv Q$. توجه کنید که این نماد با نماد «اگر و فقط اگر» ( ↔ ) متفاوت است؛ هرچند رابطه نزدیکی با هم دارند. همارزی یک رابطه بین دو گزاره است، در حالی که ↔ یک عملگر منطقی برای ساختن یک گزاره جدید است. گزاره $P \leftrightarrow Q$ درست است اگر و فقط اگر P و Q همارز باشند.
ابزار تشخیص: جدول درستی
مهمترین ابزار برای تشخیص همارزی دو گزاره، جدول درستی است. در این جدول، تمام ترکیبهای ممکن از ارزش اجزای گزاره را مینویسیم و سپس ارزش نهایی هر دو گزاره را در هر حالت محاسبه میکنیم. اگر ستون مربوط به ارزش دو گزاره دقیقاً یکسان باشد، آن دو گزاره با یکدیگر همارز هستند.
برای مثال، دو گزاره $\neg (P \land Q)$ (نقیض «P و Q») و $(\neg P) \lor (\neg Q)$ («نه P» یا «نه Q») را در نظر بگیرید. با استفاده از جدول زیر میتوانیم همارزی آنها را بررسی کنیم که به قانون دمورگان معروف است.
| P | Q | P ∧ Q | ¬(P ∧ Q) | ¬P | ¬Q | (¬P) ∨ (¬Q) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| د | د | د | ن | ن | ن | ن |
| د | ن | ن | د | ن | د | د |
| ن | د | ن | د | د | ن | د |
| ن | ن | ن | د | د | د | د |
ستون چهارم ( $\neg (P \land Q)$ ) و ستون هفتم ( $(\neg P) \lor (\neg Q)$ ) کاملاً یکسان هستند. بنابراین این دو گزاره با یکدیگر همارزند و میتوان نوشت: $\neg (P \land Q) \equiv (\neg P) \lor (\neg Q)$.
همارزیهای پایه و پرکاربرد
برخی از همارزیها آنقدر مهم و پایهای هستند که به عنوان قوانین جابجایی و توزیعپذیری شناخته میشوند. شناخت این قوانین به ما کمک میکند تا بدون نیاز به جدول درستی، عبارتهای پیچیده را ساده کنیم. در جدول زیر مهمترین آنها را میبینید. در این قوانین، ⊤ نماد گزارهای است که همیشه درست است (تناقض) و ⊥ نماد گزارهای است که همیشه نادرست است.
| نام قانون | فرمول همارزی (با ≡) |
|---|---|
| نقیض مضاعف | $\neg (\neg P) \equiv P$ |
| قوانین دمورگان | $\neg (P \land Q) \equiv (\neg P) \lor (\neg Q)$ $\neg (P \lor Q) \equiv (\neg P) \land (\neg Q)$ |
| خاصیت جابجایی | $P \land Q \equiv Q \land P$ $P \lor Q \equiv Q \lor P$ |
| خاصیت شرکتپذیری | $(P \land Q) \land R \equiv P \land (Q \land R)$ $(P \lor Q) \lor R \equiv P \lor (Q \lor R)$ |
| خاصیت توزیعپذیری | $P \land (Q \lor R) \equiv (P \land Q) \lor (P \land R)$ $P \lor (Q \land R) \equiv (P \lor Q) \land (P \lor R)$ |
| قوانین همانی | $P \land \top \equiv P$ ، $P \lor \bot \equiv P$ |
| قوانین مکملی | $P \land \neg P \equiv \bot$ ، $P \lor \neg P \equiv \top$ |
کاربرد عملی: سادهسازی عبارتهای منطقی
فرض کنید در یک مسابقه برنامهنویسی، شرطی به شکل زیر داده شده است: $(A \lor B) \land (A \lor \neg B)$. برای اجرای بهینهتر کد، میخواهیم این شرط را ساده کنیم. با استفاده از قانون توزیعپذیری به صورت معکوس، داریم:
طبق قانون مکملی، $B \land \neg B$ همیشه نادرست ($\bot$) است. بنابراین داریم: $A \lor \bot$. در نهایت، طبق قانون همانی، $A \lor \bot \equiv A$. پس کل عبارت پیچیده اولیه با یک گزاره ساده A همارز است. برنامهنویس میتواند به جای محاسبههای متعدد، فقط مقدار A را بررسی کند.
مثال دیگر در زندگی روزمره: فرض کنیم گزاره «اگر باران بیاید، زمین خیس میشود» را داریم. همارز این گزاره، عبارت «یا باران نمیآید یا زمین خیس میشود» است. این همارزی که به حذف شرطی معروف است، به صورت فرمول زیر نوشته میشود:
چالشهای مفهومی
پاسخ: خیر. برابری ریاضی ( = ) معمولاً به یکسان بودن مقدار عددی اشاره دارد، اما همارزی گزارهها به یکسان بودن ارزش درستی (درست یا نادرست) در همه حالات اشاره دارد. مثلاً گزارههای «x + x = 2x» و «x < 3» از نظر ریاضی قابل قیاس نیستند، اما از نظر منطقی میتوانند در قالب گزارههای شرطی با هم مقایسه شوند.
پاسخ: خیر. شرط همارزی، یکسانی ارزش در «همه» حالات ممکن است. حتی اگر فقط یک حالت پیدا شود که در آن یکی درست و دیگری نادرست باشد، دو گزاره همارز نیستند. برای اثبات عدم همارزی، پیدا کردن یک مثال نقض کافی است.
پاسخ: گزاره $P \leftrightarrow Q$ یک گزاره مرکب است که دقیقاً زمانی درست است که P و Q همارز باشند. به عبارت دیگر، $P \equiv Q$ یعنی $P \leftrightarrow Q$ یک قضیه (همیشه درست) است. پس همارزی یک رابطه است، در حالی که $\leftrightarrow$ یک عملگر برای ساختن گزاره جدید است.
پاورقی
1 گزاره (Proposition): جملهای خبری که ارزش درستی آن (درست یا نادرست) قابل تعیین باشد.
2 جدول درستی (Truth Table): جدولی که تمام ترکیبهای ممکن از ارزش گزارههای ساده را نشان داده و ارزش گزارههای مرکب را برای هر ترکیب محاسبه میکند.
3 قانون دمورگان (De Morgan's Laws): مجموعهای از قوانین در جبر بول که رابطه بین عطف، فصل و نقیض را بیان میکند.
4 عطف (Conjunction): عملگر منطقی «و» که با نماد $\land$ نشان داده میشود.
5 فصل (Disjunction): عملگر منطقی «یا» که با نماد $\lor$ نشان داده میشود.
6 نقیض (Negation): عملگر منطقی «نه» که با نماد $\neg$ نشان داده میشود.
7 شرطی (Conditional): عملگر منطقی «اگر ... آنگاه ...» که با نماد $\rightarrow$ نشان داده میشود.
