تعریفنشدن عبارت گویا: جستجوی نقاط ناپیدا در قلمرو اعداد
تعریف عبارت گویا و معمای بیمقداری
در ریاضیات، به هر عبارت جبری که به صورت خارجقسمت دو چندجملهای[۲] نوشته شود، «عبارت گویا»[۳] میگویند. شکل کلی آن $\frac{P(x)}{Q(x)}$ است که در آن $P(x)$ و $Q(x)$ دو چندجملهای بر حسب متغیر $x$ هستند. برای مثال، $\frac{x^{2}+2}{x-5}$ یک عبارت گویاست. اما نکتهٔ حیاتی در مورد این عبارات این است که مقدار آنها برای همیشه و برای هر عددی قابل محاسبه نیست. نقطهٔ بحرانی، همان مخرج کسر است؛ یعنی $Q(x)$. ما در ریاضیات بر اساس اصل بدیهیِ «تقسیم بر صفر تعریفنشده است»، هرگاه مخرج کسری برابر صفر شود، با یک مقدار «تعریفنشده»[۴] روبرو میشویم.
مثال ساده: عبارت $\frac{3}{x-2}$ را در نظر بگیرید. اگر $x=2$ باشد، مخرج کسر $2-2=0$ میشود. در این حالت عبارت ما به $\frac{3}{0}$ تبدیل میشود که در ریاضیات معنایی ندارد. میگوییم عبارت گویای $\frac{3}{x-2}$ برای $x=2$ تعریفنشده است.
به مجموعهٔ تمام اعداد حقیقی[۵] که به ازای آنها یک عبارت گویا مقدار داشته باشد، «دامنهٔ عبارت» میگویند. بنابراین، پیدا کردن مقادیری که مخرج را صفر میکنند، اولین گام برای تعیین دامنهٔ یک عبارت گویا است.
روش گامبهگام یافتن نقاط تعریفنشده
برای یافتن مقادیری که یک عبارت گویا در آنها تعریفنشده است، یک رویکرد سیستماتیک و گامبهگام وجود دارد که به شرح زیر است:
گام ۲: مخرج را برابر صفر قرار دهید ($Q(x)=0$).
گام ۳: معادلهٔ بهدستآمده را حل کنید.
گام ۴: جوابهای این معادله، همان مقادیری هستند که عبارت گویا برای آنها تعریفنشده است.
بیایید این روش را با یک مثال عددی و گامبهگام مرور کنیم. عبارت $\frac{2x+1}{x^{2}-5x+6}$ را در نظر بگیرید.
- گام ۱ (مخرج): مخرج عبارت ما $x^{2}-5x+6$ است.
- گام ۲ (صفر قرار دادن): معادلهٔ $x^{2}-5x+6=0$ را تشکیل میدهیم.
- گام ۳ (حل معادله): این معادله را میتوان به راحتی تجزیه کرد: $(x-2)(x-3)=0$. بنابراین، جوابهای معادله $x=2$ و $x=3$ هستند.
- گام ۴ (نتیجه): عبارت گویای $\frac{2x+1}{x^{2}-5x+6}$ برای $x=2$ و $x=3$ تعریفنشده است.
دقت کنید که صورت کسر (در اینجا $2x+1$) هیچ تأثیری در تشخیص نقاط تعریفنشده ندارد. حتی اگر صورت هم در آن نقاط صفر شود، باز هم کسر به شکل $\frac{0}{0}$ درمیآید که همچنان یک عبارت «تعریفنشده» است (البته از نوع مبهم[۶] که خود بحث جداگانهای دارد).
مقایسه انواع عبارات و نقاط تعریفنشده آنها
برای درک بهتر، بیایید چند نوع عبارت گویا با مخرجهای مختلف را بررسی کرده و نقاط تعریفنشدهٔ آنها را در یک جدول مقایسه کنیم.
| عبارت گویا | مخرج ($Q(x)$) | معادلهٔ مخرج = صفر | نقاط تعریفنشده |
|---|---|---|---|
| $\frac{5}{x}$ | $x$ | $x=0$ | $x=0$ |
| $\frac{x-3}{x+4}$ | $x+4$ | $x+4=0 \Rightarrow x=-4$ | $x=-4$ |
| $\frac{7x}{x^{2}-9}$ | $x^{2}-9$ | $x^{2}-9=0 \Rightarrow (x-3)(x+3)=0$ | $x=3$ و $x=-3$ |
| $\frac{2x+1}{x^{2}+4}$ | $x^{2}+4$ | $x^{2}+4=0$ | هیچکدام (در اعداد حقیقی) |
همانطور که در ردیف آخر جدول میبینید، معادلهٔ $x^{2}+4=0$ در مجموعهٔ اعداد حقیقی جوابی ندارد (زیرا $x^{2} \ge 0$ است و هیچگاه با $-4$ برابر نمیشود). بنابراین عبارت $\frac{2x+1}{x^{2}+4}$ برای تمام اعداد حقیقی $x$ تعریفشده است.
چالشهای مفهومی در تعریفنشدن عبارات گویا
بله، همچنان تعریفنشده است. هر چند که عبارت به شکل $\frac{0}{0}$ درمیآید که یک حالت «مبهم» است، اما این حالت نیز جزو مقادیر تعریفنشده محسوب میشود. برای مثال، عبارت $\frac{x-2}{x-2}$ به ازای $x=2$ به $\frac{0}{0}$ تبدیل میشود و تعریفنشده است، اگرچه برای بقیهٔ مقادیر $x$ این عبارت برابر $1$ میشود.
بله. درجهٔ مخرج تعیینکنندهٔ حداکثر تعداد این نقاط است. یک چندجملهای درجهٔ $n$ حداکثر میتواند $n$ ریشهٔ حقیقی داشته باشد. بنابراین مخرج درجهٔ سوم میتواند تا سه مقدار متغیر را صفر کند و عبارت برای آن سه مقدار تعریفنشده باشد.
این یک نکتهٔ بسیار مهم است. سادهسازی یک عبارت گویا (مثلاً با حذف عامل مشترک از صورت و مخرج) دامنهٔ آن را تغییر میدهد. عبارت اصلی و سادهشدهٔ آن دو تابع متفاوت هستند. برای مثال، عبارت $\frac{x(x-1)}{x-1}$ در $x=1$ تعریفنشده است، اما پس از سادهسازی به $x$ تبدیل میشود که برای $x=1$ مقدار $1$ دارد. این دو یکسان نیستند. هنگام کار با عبارت اصلی، باید به دامنهٔ اولیهٔ آن پایبند بود.
کاربرد عملی: چرا باید نقاط تعریفنشده را بشناسیم؟
شاید این سؤال برای شما پیش بیاید که چرا این همه روی یافتن نقاط تعریفنشده تأکید میکنیم. کاربرد آن فراتر از یک تمرین سادهٔ کلاسی است. در رسم نمودار تابع، این نقاط به صورت خطوط مجانب[۷] قائم ظاهر میشوند. به عنوان مثال، در تابع $f(x)=\frac{1}{x-1}$، خط $x=1$ یک مجانب قائم است که نمودار هرگز آن را قطع نمیکند و در نزدیکی آن به بینهایت نزدیک میشود. در علوم مهندسی، وقتی با سیستمی سروکار داریم که رفتار آن با یک عبارت گویا مدلسازی میشود، نقاط تعریفنشده میتوانند نشاندهندهٔ شرایط بحرانی مانند تشدید[۸] در مدارهای الکتریکی یا ناپایداری در سیستمهای مکانیکی باشند.
«تعریفنشدن» یک عبارت گویا مستقیماً به صفر شدن مخرج آن وابسته است. برای یافتن این نقاط، کافی است مخرج را برابر صفر قرار داده و معادلهٔ حاصل را حل کنیم. این نقاط از دامنهٔ عبارت حذف میشوند و درک آنها برای تحلیل دقیق توابع، رسم نمودارها و مدلسازی پدیدههای علمی و مهندسی حیاتی است. همواره به یاد داشته باشید که دامنهٔ یک عبارت گویا، مجموعهٔ همهٔ اعداد حقیقی به جز ریشههای مخرج آن است.
پاورقیها
1دامنه (Domain): مجموعهٔ تمام مقادیر ورودی (معمولاً $x$) که یک تابع یا عبارت برای آنها مقدار حقیقی دارد.
2چندجملهای (Polynomial): عبارتی جبری شامل متغیرها و ضرایب که تنها از عملیات جمع، تفریق، ضرب و توانهای صحیح نامنفی متغیرها ساخته شده است.
3عبارت گویا (Rational Expression): خارجقسمت دو چندجملهای.
4تعریفنشده (Undefined): در ریاضیات، به عبارتی که فاقد معنا یا ارزش عددی مشخص باشد، تعریفنشده میگویند. مهمترین حالت آن تقسیم بر صفر است.
5اعداد حقیقی (Real Numbers): مجموعهٔ تمام اعداد گویا و گنگ که بر روی محور اعداد قابل نمایش هستند.
6مبهم (Indeterminate): به اشکالی مانند $\frac{0}{0}$ یا $\frac{\infty}{\infty}$ در محاسبات حد میگویند که برای تعیین مقدار آنها به عملیات بیشتری نیاز است.
7مجانب (Asymptote): خطی که نمودار یک تابع به آن نزدیک و نزدیکتر میشود، اما هرگز به آن نمیرسد (یا در بینهایت آن را لمس میکند).
8تشدید (Resonance): پدیدهای در فیزیک که در آن یک سیستم نوسانی با دامنهٔ بسیار زیاد در پاسخ به یک نیروی خارجی در فرکانس طبیعی خود نوسان میکند.
