اتحاد مجموع دو مکعب: تحلیل رابطه (A+B)(A²-AB+B²)=A³+B³
کشف ساختار جبری این اتحاد و کاربردهای آن در تجزیه عبارتهای مکعبی و حل مسائل
اتحاد مجموع دو مکعبSum of Cubesیکی از اتحادهای مهم در جبر مقدماتی است که به ما امکان میدهد حاصلضرب یک دوجملهای در یک سهجملهای را به صورت مجموع دو مکعب بنویسیم. این مقاله با زبانی ساده، اثبات، تعمیمها، کاربرد در تجزیه عبارتها و چالشهای رایج این اتحاد را بررسی میکند.
۱. ساختار و اثبات اتحاد
اتحاد مجموع دو مکعب بیان میکند که حاصلضرب $ (A+B) $ در $ (A^2 - AB + B^2) $ برابر با $ A^3 + B^3 $ است. برای اثبات این رابطه، کافی است عمل ضرب را به دقت انجام دهیم:
$ (A+B)(A^2 - AB + B^2) $
$ = A \cdot A^2 + A \cdot (-AB) + A \cdot B^2 + B \cdot A^2 + B \cdot (-AB) + B \cdot B^2 $
$ = A^3 - A^2B + AB^2 + A^2B - AB^2 + B^3 $
همانطور که مشاهده میشود، جملات $ -A^2B $ و $ +A^2B $ با یکدیگر خنثی شده و جملات $ +AB^2 $ و $ -AB^2 $ نیز حذف میشوند. در نتیجه تنها $ A^3 $ و $ B^3 $ باقی میمانند. این اثبات ساده، قدرت جبر در سادهسازی عبارات را نشان میدهد.
$ = A \cdot A^2 + A \cdot (-AB) + A \cdot B^2 + B \cdot A^2 + B \cdot (-AB) + B \cdot B^2 $
$ = A^3 - A^2B + AB^2 + A^2B - AB^2 + B^3 $
۲. ارتباط با اتحاد مزدوج و تفاوت مکعبها
این اتحاد با اتحاد تفاوت دو مکعبDifference of Cubesکه به صورت $ (A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3 $ نوشته میشود، رابطهای نزدیک دارد. تنها تفاوت در علامت جمله وسط ($ AB $) و علامت $ B $ در دو جملهای اول است. جدول زیر این دو اتحاد را مقایسه میکند:
| اتحاد | فرمول کلی | علامت $AB$ | مثال عددی |
|---|---|---|---|
| مجموع مکعبها | $ (A+B)(A^2-AB+B^2) $ | $-$ | $ (2+3)(4-6+9)=5 \times 7 =35$ $ 8+27=35 $ |
| تفاوت مکعبها | $ (A-B)(A^2+AB+B^2) $ | $+$ | $ (5-2)(25+10+4)=3 \times 39 =117$ $ 125-8=117 $ |
۳. کاربرد در تجزیه عبارتهای جبری
اصلیترین کاربرد این اتحاد، تجزیهFactorizationچندجملهایهایی به فرم $ A^3 + B^3 $ است. برای مثال، عبارت $ 8x^3 + 27 $ را در نظر بگیرید. این عبارت را میتوان به صورت $ (2x)^3 + (3)^3 $ نوشت. حال با استفاده از اتحاد:
$ 8x^3 + 27 = (2x + 3)((2x)^2 - (2x)(3) + 3^2) $
$ = (2x + 3)(4x^2 - 6x + 9) $
این تجزیه به ما کمک میکند تا ریشههای معادله $ 8x^3 + 27 = 0 $ را پیدا کنیم. با قرار دادن هر عامل برابر صفر، یک ریشه حقیقی $ x = -\frac{3}{2} $ و دو ریشه مختلط از معادله درجه دوم $ 4x^2 - 6x + 9 = 0 $ به دست میآید.
$ = (2x + 3)(4x^2 - 6x + 9) $
۴. مثال عینی: محاسبه ذهنی با اعداد
فرض کنید میخواهیم حاصل جمع $ 12^3 + 7^3 $ را بدون محاسبه مستقیم مکعبها به دست آوریم. با استفاده از اتحاد:
$ 12^3 + 7^3 = (12+7)(12^2 - 12 \times 7 + 7^2) $
$ = 19 \times (144 - 84 + 49) $
$ = 19 \times (60 + 49) = 19 \times 109 = 2071 $
این روش به ویژه برای اعدادی که محاسبه مکعب آنها دشوار است، راهکاری سریع و کارآمد ارائه میدهد. درسیهای روزانه، معلمان اغلب از این مثال برای نشان دادن قدرت اتحادها در سادهسازی محاسبات استفاده میکنند.
چالشهای مفهومی
چرا علامت جمله وسط در سهجملهای منفی است ($ -AB $) نه مثبت؟
اگر دقت کنید در اثبات، جملات $ -A^2B $ و $ +A^2B $ یکدیگر را خنثی میکنند. اگر علامت $ AB $ مثبت بود، در حاصلضرب جملات $ +A^2B $ و $ +A^2B $ ظاهر میشدند و حذف نمیشدند و در نتیجه عبارت نهایی با $ A^3+B^3 $ برابر نمیشد. این علامت منفی نقشی کلیدی در سادهسازی دارد.
اگر دقت کنید در اثبات، جملات $ -A^2B $ و $ +A^2B $ یکدیگر را خنثی میکنند. اگر علامت $ AB $ مثبت بود، در حاصلضرب جملات $ +A^2B $ و $ +A^2B $ ظاهر میشدند و حذف نمیشدند و در نتیجه عبارت نهایی با $ A^3+B^3 $ برابر نمیشد. این علامت منفی نقشی کلیدی در سادهسازی دارد.
آیا این اتحاد برای همه اعداد حقیقی و مختلطComplex Numbersبرقرار است؟
بله. اثبات این اتحاد تنها بر اساس خاصیتهای جابجایی و توزیعپذیری عمل ضرب استوار است که در مجموعه اعداد حقیقی و مختلط (و به طور کلی هر میدانی$^1$) برقرار است. بنابراین، چه $ A $ و $ B $ حقیقی باشند، چه مختلط، این رابطه همواره صادق است.
بله. اثبات این اتحاد تنها بر اساس خاصیتهای جابجایی و توزیعپذیری عمل ضرب استوار است که در مجموعه اعداد حقیقی و مختلط (و به طور کلی هر میدانی$^1$) برقرار است. بنابراین، چه $ A $ و $ B $ حقیقی باشند، چه مختلط، این رابطه همواره صادق است.
چرا سهجملهای $ A^2 - AB + B^2 $ را نمیتوان بیشتر تجزیه کرد؟
این سهجملهای شبیه به مربع کامل $ (A-B)^2 = A^2 -2AB +B^2 $ است، اما جمله وسط آن نصف شده است. معادله $ A^2 - AB + B^2 = 0 $ را در نظر بگیرید. دلتای آن $ \Delta = B^2 - 4B^2 = -3B^2 $ است که همواره منفی یا صفر است (در حالت $B=0$). بنابراین ریشه حقیقی ندارد و در مجموعه اعداد حقیقی، تجزیهناپذیر است. در مجموعه اعداد مختلط نیز به فاکتورهای خطی مختلط تجزیه میشود که خود موضوع پیشرفتهتری است.
این سهجملهای شبیه به مربع کامل $ (A-B)^2 = A^2 -2AB +B^2 $ است، اما جمله وسط آن نصف شده است. معادله $ A^2 - AB + B^2 = 0 $ را در نظر بگیرید. دلتای آن $ \Delta = B^2 - 4B^2 = -3B^2 $ است که همواره منفی یا صفر است (در حالت $B=0$). بنابراین ریشه حقیقی ندارد و در مجموعه اعداد حقیقی، تجزیهناپذیر است. در مجموعه اعداد مختلط نیز به فاکتورهای خطی مختلط تجزیه میشود که خود موضوع پیشرفتهتری است.
جمعبندی: اتحاد $ (A+B)(A^2-AB+B^2)=A^3+B^3 $ نهتنها ابزاری قدرتمند برای تجزیه چندجملهایهای مکعبی و حل معادلات است، بلکه با ایجاد ارتباطی زیبا بین حاصلضرب و مجموع مکعبها، درک عمیقتری از ساختار جبر به دانشآموزان میدهد. از محاسبات سریع عددی تا تحلیل ریشههای مختلط، این اتحاد جایگاهی ویژه در ریاضیات مقدماتی دارد.
پاورقیها
۱میدان (Field): در جبر، مجموعهای از عناصر همراه با دو عمل جمع و ضرب که ویژگیهای خاصی مانند جابجایی، شرکتپذیری، وجود عنصر خنثی و معکوس را دارند. اعداد حقیقی و مختلط نمونههایی از میدان هستند.
۲اتحاد مجموع دو مکعب (Sum of Cubes): رابطهای که بر اساس آن مجموع مکعب دو جمله را میتوان به صورت حاصلضرب یک دو جملهای در یک سهجملهای نوشت.
۳اتحاد تفاوت دو مکعب (Difference of Cubes): رابطه مشابه برای تفاضل مکعب دو جمله که به صورت $ (A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3 $ تعریف میشود.
