اتحاد تفاضل دو مربع: کلید طلایی سادهسازی عبارتهای جبری
آشنایی با رابطهٔ پرکاربرد (a-b)(a+b) = a² - b² و کاربردهای آن در محاسبات سریع و حل معادلات
اتحاد تفاضل دو مربع یکی از پایهایترین و در عین حال قدرتمندترین ابزارهای جبر است. این رابطهٔ ساده به ما اجازه میدهد حاصلضرب جمع و تفاضل دو عدد را بدون انجام عملیات ضرب مستقیم، بهسرعت محاسبه کنیم. از محاسبات ذهنی سریع تا حل معادلات درجه دوم و حتی فاکتورگیری1 عبارتهای پیچیدهٔ جبری، این اتحاد کاربردهای گستردهای دارد که در این مقاله به زبان ساده و با مثالهای متعدد بررسی خواهیم کرد.
۱. تعریف و اثبات اتحاد (a-b)(a+b) = a² - b²
این اتحاد که با نام «اتحاد مزدوج»2 نیز شناخته میشود، بیان میکند که حاصلضرب $(a - b)$ در $(a + b)$ برابر است با مربع $a$ منهای مربع $b$. اثبات این رابطه بسیار ساده است و با استفاده از خاصیت پخشی3 ضرب بر روی جمع انجام میشود:
اثبات گامبهگام:
$(a - b)(a + b) = a \cdot (a + b) - b \cdot (a + b)$
$= a^2 + ab - ba - b^2$
از آنجا که $ab = ba$، دو عبارت $ab$ و $-ba$ همارز بوده و یکدیگر را حذف میکنند. بنابراین:
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
این اثبات نشان میدهد که رابطهٔ مذکور یک اتحاد است، یعنی به ازای تمامی مقادیر $a$ و $b$ (اعم از اعداد حقیقی، موهومی، عبارتهای جبری و ...) برقرار است.
$(a - b)(a + b) = a \cdot (a + b) - b \cdot (a + b)$
$= a^2 + ab - ba - b^2$
از آنجا که $ab = ba$، دو عبارت $ab$ و $-ba$ همارز بوده و یکدیگر را حذف میکنند. بنابراین:
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
۲. کاربرد در محاسبات عددی سریع (ضرب ذهنی)
یکی از جذابترین کاربردهای این اتحاد، انجام محاسبات ضرب اعداد بهصورت ذهنی و با سرعت بالا است. فرض کنید میخواهیم حاصلضرب $19 \times 21$ را محاسبه کنیم. با کمی دقت متوجه میشویم که $19 = 20 - 1$ و $21 = 20 + 1$. بنابراین: $19 \times 21 = (20 - 1)(20 + 1) = 20^2 - 1^2 = 400 - 1 = 399$ این روش بهویژه برای اعدادی که فاصلهٔ یکسانی از یک عدد مبنا دارند، بسیار کارآمد است. مثال دیگر: $32 \times 28$ را در نظر بگیرید: $32 \times 28 = (30 + 2)(30 - 2) = 30^2 - 2^2 = 900 - 4 = 896$
نکتهٔ کاربردی: این روش برای اعداد اعشاری نیز کاربرد دارد. بهعنوان مثال، $4.5 \times 5.5 = (5 - 0.5)(5 + 0.5) = 25 - 0.25 = 24.75$.
۳. فاکتورگیری و سادهسازی عبارتهای جبری
کاربرد معکوس این اتحاد، یعنی نوشتن $a^2 - b^2$ بهصورت $(a-b)(a+b)$، ابزاری قدرتمند برای فاکتورگیری است. این تکنیک در سادهسازی عبارتهای گویا4 و حل معادلات بسیار مفید است. مثال ۱: فاکتورگیری از $x^2 - 25$ $x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5)$ مثال ۲: فاکتورگیری از $4y^2 - 9$ $4y^2 - 9 = (2y)^2 - 3^2 = (2y - 3)(2y + 3)$ مثال ۳: سادهسازی یک عبارت گویا عبارت $\frac{x^2 - 16}{x - 4}$ را ساده کنید.
$\frac{x^2 - 16}{x - 4} = \frac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4} = x + 4$ (به شرط $x \ne 4$)
۴. حل معادلات درجه دوم
اتحاد تفاضل دو مربع راه حلی سریع و مستقیم برای معادلاتی به فرم $x^2 = k$ (که $k \ge 0$) ارائه میدهد. مثال: معادلهٔ $x^2 - 36 = 0$ را حل کنید.
$x^2 - 36 = 0 \implies (x - 6)(x + 6) = 0$
با استفاده از قانون «ضرب دو عبارت برابر صفر است، اگر حداقل یکی از آنها صفر باشد»، خواهیم داشت:
$x - 6 = 0 \implies x = 6$ یا $x + 6 = 0 \implies x = -6$.
بنابراین مجموعهٔ جواب $\{-6, 6\}$ است.
این روش بسیار سادهتر از استفاده از فرمول عمومی حل معادلهٔ درجه دوم است.
۵. مقایسه با سایر اتحادهای مهم
برای درک بهتر جایگاه این اتحاد، آن را با دو اتحاد کلیدی دیگر مقایسه میکنیم.| نام اتحاد | فرمول کلی | مثال عددی | کاربرد اصلی |
|---|---|---|---|
| تفاضل دو مربع | $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ | $(7-3)(7+3)=49-9=40$ | ضرب سریع و فاکتورگیری |
| مربع دوجملهای (جمع) | $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ | $(7+3)^2=49+42+9=100$ | محاسبه مربع اعداد |
| مربع دوجملهای (تفاضل) | $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ | $(7-3)^2=49-42+9=16$ | محاسبه مربع اعداد |
۶. چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
❓ چالش ۱: آیا این اتحاد برای اعداد منفی هم صادق است؟ اگر $a$ و $b$ هر دو منفی باشند، چه اتفاقی میافتد؟
پاسخ: بله، این اتحاد یک رابطهٔ جبری محض است و برای تمام اعداد حقیقی، از جمله اعداد منفی، برقرار است. بهعنوان مثال، فرض کنید $a = -5$ و $b = -2$: $(-5 - (-2)) \times (-5 + (-2)) = (-5 + 2)(-5 - 2) = (-3)(-7) = 21$ $(-5)^2 - (-2)^2 = 25 - 4 = 21$ که نشاندهندهٔ صحت رابطه است.
پاسخ: بله، این اتحاد یک رابطهٔ جبری محض است و برای تمام اعداد حقیقی، از جمله اعداد منفی، برقرار است. بهعنوان مثال، فرض کنید $a = -5$ و $b = -2$: $(-5 - (-2)) \times (-5 + (-2)) = (-5 + 2)(-5 - 2) = (-3)(-7) = 21$ $(-5)^2 - (-2)^2 = 25 - 4 = 21$ که نشاندهندهٔ صحت رابطه است.
❓ چالش ۲: چگونه میتوان $999 \times 1001$ را با استفاده از این اتحاد در کمتر از $5$ ثانیه حساب کرد؟
پاسخ: اعداد $999$ و $1001$ بهترتیب یک واحد کمتر و یک واحد بیشتر از $1000$ هستند. بنابراین: $999 \times 1001 = (1000 - 1)(1000 + 1) = 1000^2 - 1^2 = 1,000,000 - 1 = 999,999$
پاسخ: اعداد $999$ و $1001$ بهترتیب یک واحد کمتر و یک واحد بیشتر از $1000$ هستند. بنابراین: $999 \times 1001 = (1000 - 1)(1000 + 1) = 1000^2 - 1^2 = 1,000,000 - 1 = 999,999$
❓ چالش ۳: آیا میتوان از این اتحاد برای فاکتورگیری عبارتهایی مانند $x^4 - 16$ استفاده کرد؟
پاسخ: بله، با تکرار این اتحاد میتوان عبارتهای توانبالاتر را نیز فاکتورگیری کرد. ابتدا $x^4 - 16$ را بهصورت تفاضل دو مربع مینویسیم: $x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$ $x^2 - 4$ خود یک تفاضل دو مربع است: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. عبارت $x^2 + 4$ در مجموعه اعداد حقیقی قابل تجزیه نیست، اما در مجموعه اعداد مختلط، آن هم بهصورت $(x - 2i)(x + 2i)$ قابل تجزیه است. بنابراین فاکتورگیری نهایی در اعداد حقیقی: $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$.
پاسخ: بله، با تکرار این اتحاد میتوان عبارتهای توانبالاتر را نیز فاکتورگیری کرد. ابتدا $x^4 - 16$ را بهصورت تفاضل دو مربع مینویسیم: $x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$ $x^2 - 4$ خود یک تفاضل دو مربع است: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. عبارت $x^2 + 4$ در مجموعه اعداد حقیقی قابل تجزیه نیست، اما در مجموعه اعداد مختلط، آن هم بهصورت $(x - 2i)(x + 2i)$ قابل تجزیه است. بنابراین فاکتورگیری نهایی در اعداد حقیقی: $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$.
۷. کاربرد در هندسه (یک مثال عینی)
فرض کنید یک قطعه زمین مربعشکل به ضلع $a$ متر داریم. اگر از وسط آن یک خیابان به عرض $b$ متر عبور دهیم (بهطوری که زمین را به دو مستطیل تقسیم کند)، مساحت باقیمانده چقدر است؟ مساحت کل زمین $a^2$ است. خیابان یک نوار به طول $a$ و عرض $b$ است، پس مساحت آن $ab$ خواهد بود. اما اگر دقت کنیم، قسمتی از خیابان که در مرکز زمین قرار دارد (یک مربع به ضلع $b$) دوبار شمرده میشود. بنابراین مساحت واقعی خیابان $2ab - b^2$ است. مساحت زمین پس از احداث خیابان: $a^2 - (2ab - b^2) = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ این نتیجه جالب است. اگر زمین را بهجای یک خیابان در وسط، با دو برش (یک نوار از طول و یک نوار از عرض) به دو راهرو تبدیل کنیم، شکل باقیمانده یک مربع کوچکتر به ضلع $(a-b)$ خواهد بود و مساحت آن دقیقاً با رابطهٔ $(a-b)^2$ که مربع یک دوجملهای است، مطابقت دارد. حال اگر این زمین را به چهار قطعه تقسیم کنیم، رابطهٔ تفاضل دو مربع نیز بهصورت بصری قابل مشاهده است.
ارائهٔ خلاصه: اتحاد تفاضل دو مربع $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ نه فقط یک فرمول حفظی، بلکه ابزاری است برای درک عمیقتر روابط ریاضی. این اتحاد با تبدیل یک ضرب به تفاضل مربعها، محاسبات را ساده میکند، در فاکتورگیری عبارتهای جبری نقش کلیدی دارد، و راه حلی سریع برای دستهای از معادلات درجه دوم ارائه میدهد. تسلط بر این مفهوم، پایهای محکم برای یادگیری مباحث پیشرفتهتر جبر و حسابان خواهد بود.
پاورقیها
1فاکتورگیری (Factorization): به فرآیند بازنویسی یک عبارت ریاضی بهصورت حاصلضرب عوامل سادهتر گفته میشود.
2اتحاد مزدوج (Conjugate Identity): به رابطهٔ $(a-b)(a+b)$ اطلاق میشود، زیرا دو جمله $a-b$ و $a+b$ مزدوج یکدیگر نامیده میشوند.
3خاصیت پخشی (Distributive Property): خاصیتی در جبر که بیان میکند $a(b+c) = ab + ac$.
4عبارت گویا (Rational Expression): عبارتی که به صورت نسبت دو چندجملهای نوشته میشود، مانند $\frac{P(x)}{Q(x)}$.