اتحاد مکعب مجموع: فرمول، اثبات و کاربردهای عملی
آشنایی کامل با اتحاد (a+b)3 و نقش آن در سادهسازی عبارتهای جبری و حل مسائل
در این مقاله با یکی از پرکاربردترین اتحادهای جبری یعنی اتحاد مکعب مجموع آشنا میشوید. فرمول استاندارد $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ به همراه اثبات گامبهگام، مثالهای عددی و کاربردهای آن در مسائل هندسی و تجزیه عبارتها ارائه شده است. همچنین با روشهای تشخیص این اتحاد از حالتهای مشابه مانند مکعب تفاضل1 آشنا خواهید شد.
۱. معرفی اتحاد مکعب مجموع
اتحاد مکعب مجموع یکی از اتحادهای اصلی در جبر است که به ما کمک میکند حاصل ضرب یک عبارت دو جملهای در خودش (سه بار) را به صورت یک چندجملهای سادهتر بنویسیم. این اتحاد که به نام2 «اتحاد مربع سهتایی» نیز شناخته میشود، به صورت زیر تعریف میگردد:
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
در این رابطه، $a$ و $b$ میتوانند هر عدد، متغیر یا عبارت جبری باشند. این فرمول نشان میدهد که مکعب مجموع دو جمله، برابر است با مجموع مکعب هر جمله بهعالوه سه برابر مربع جمله اول در جمله دوم، سه برابر جمله اول در مربع جمله دوم، و نهایتاً مکعب جمله دوم.
۲. اثبات گامبهگام فرمول
برای اثبات این اتحاد، میتوانیم از تعریف توان سوم و خاصیت پخشپذیری3 استفاده کنیم:
$(a+b)^3 = (a+b) \times (a+b)^2$
$= (a+b) \times (a^2 + 2ab + b^2)$
$= a \times (a^2 + 2ab + b^2) + b \times (a^2 + 2ab + b^2)$
$= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$
$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
همانطور که ملاحظه میکنید، با سادهسازی جملات مشابه $2a^2b + a^2b = 3a^2b$ و $ab^2 + 2ab^2 = 3ab^2$ به فرمول نهایی میرسیم.
$= (a+b) \times (a^2 + 2ab + b^2)$
$= a \times (a^2 + 2ab + b^2) + b \times (a^2 + 2ab + b^2)$
$= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$
$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
۳. مثالهای عددی و جبری
مثال عددی ساده: فرض کنید $a=2$ و $b=1$. طرف چپ اتحاد:
$(2+1)^3 = 3^3 = 27$
طرف راست:
$2^3 + 3(2^2)(1) + 3(2)(1^2) + 1^3 = 8 + 3\times 4 \times 1 + 3\times 2 \times 1 + 1 = 8 + 12 + 6 + 1 = 27$
که صحت اتحاد را تأیید میکند.
مثال با متغیرها: عبارت $(2x + 3y)^3$ را بسط دهید.
$(2x+3y)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 + (3y)^3$
$= 8x^3 + 3 \times 4x^2 \times 3y + 3 \times 2x \times 9y^2 + 27y^3$
$= 8x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3$
$= 8x^3 + 3 \times 4x^2 \times 3y + 3 \times 2x \times 9y^2 + 27y^3$
$= 8x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3$
۴. جدول مقایسه: مکعب مجموع در مقابل حالتهای مشابه
| نام اتحاد | فرمول کلی | مثال |
|---|---|---|
| مکعب مجموع | $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ | $(x+2)^3 = x^3+6x^2+12x+8$ |
| مکعب تفاضل | $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ | $(x-2)^3 = x^3-6x^2+12x-8$ |
| مربع مجموع | $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ | $(x+2)^2 = x^2+4x+4$ |
۵. کاربرد عملی: تجزیه و فاکتورگیری
یکی از مهمترین کاربردهای این اتحاد، تجزیه عبارتهای سه جملهای به صورت مکعب یک دوجملهای است. برای مثال، عبارت $8x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3$ را در نظر بگیرید. با توجه به مثال قبلی، این عبارت دقیقاً برابر با $(2x+3y)^3$ است. برای تشخیص، مراحل زیر را طی میکنیم:- گام اول ریشه سوم جمله اول: $\sqrt[3]{8x^3} = 2x$
- گام دوم ریشه سوم جمله آخر: $\sqrt[3]{27y^3} = 3y$
- گام سوم بررسی جمله میانی: $3 \times (2x)^2 \times (3y) = 36x^2y$ و $3 \times (2x) \times (3y)^2 = 54xy^2$ که با عبارت داده شده مطابقت دارد.
۶. تفسیر هندسی
اتحاد مکعب مجموع را میتوان به صورت هندسی نیز تفسیر کرد. یک مکعب با ضلع $(a+b)$ را در نظر بگیرید. حجم این مکعب برابر $(a+b)^3$ است. این مکعب از هشت منشور و مکعب کوچکتر تشکیل شده است:- یک مکعب به ضلع $a$ با حجم $a^3$
- یک مکعب به ضلع $b$ با حجم $b^3$
- سه منشور با ابعاد $a \times a \times b$ (مجموع حجم: $3a^2b$)
- سه منشور با ابعاد $a \times b \times b$ (مجموع حجم: $3ab^2$)
۷. چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: چرا در اتحاد مکعب مجموع، ضرایب ۱، ۳، ۳، ۱ به ترتیب ظاهر میشوند؟
پاسخ: این ضرایب در واقع ضرایب بسط دوجملهای4 نیوتن برای توان ۳ هستند. در مثلث خیام-پاسکال، ضرایب ردیف سوم عبارتاند از ۱، ۳، ۳، ۱. این الگو از ترکیبهای $\binom{3}{k}$ برای $k=0,1,2,3$ به دست میآید.
پاسخ: این ضرایب در واقع ضرایب بسط دوجملهای4 نیوتن برای توان ۳ هستند. در مثلث خیام-پاسکال، ضرایب ردیف سوم عبارتاند از ۱، ۳، ۳، ۱. این الگو از ترکیبهای $\binom{3}{k}$ برای $k=0,1,2,3$ به دست میآید.
❓ چالش ۲: چگونه میتوان $(x+y+z)^3$ را با استفاده از این اتحاد بسط داد؟
پاسخ: میتوانیم دو متغیر را گروهبندی کنیم. برای مثال، $((x+y)+z)^3$ را در نظر بگیرید. ابتدا $x+y = t$ فرض کرده، بسط را برای $(t+z)^3$ مینویسیم و سپس $t$ را با $(x+y)$ جایگزین کرده و بسط نهایی را با استفاده از اتحادهای مربع و مکعب مجموع به دست میآوریم.
پاسخ: میتوانیم دو متغیر را گروهبندی کنیم. برای مثال، $((x+y)+z)^3$ را در نظر بگیرید. ابتدا $x+y = t$ فرض کرده، بسط را برای $(t+z)^3$ مینویسیم و سپس $t$ را با $(x+y)$ جایگزین کرده و بسط نهایی را با استفاده از اتحادهای مربع و مکعب مجموع به دست میآوریم.
❓ چالش ۳: تفاوت اصلی بین $(a+b)^3$ و $a^3 + b^3$ چیست؟
پاسخ: عبارت $a^3+b^3$ تنها مجموع مکعبهاست و با اتحاد چاق و لاغر (اتحاد مجموع مکعبها) یعنی $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ قابل تجزیه است. در حالی که $(a+b)^3$ شامل جملات اضافی $3a^2b+3ab^2$ نیز میشود. به عبارت دیگر، $(a+b)^3 \neq a^3 + b^3$ مگر آنکه $a=0$ یا $b=0$ باشد.
پاسخ: عبارت $a^3+b^3$ تنها مجموع مکعبهاست و با اتحاد چاق و لاغر (اتحاد مجموع مکعبها) یعنی $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ قابل تجزیه است. در حالی که $(a+b)^3$ شامل جملات اضافی $3a^2b+3ab^2$ نیز میشود. به عبارت دیگر، $(a+b)^3 \neq a^3 + b^3$ مگر آنکه $a=0$ یا $b=0$ باشد.
نکته پایانی: اتحاد مکعب مجموع ابزاری قدرتمند در جبر است که از بسط دوجملهای نیوتن نشأت میگیرد. با تسلط بر این اتحاد و تشخیص الگوی ضرایب ۱-۳-۳-۱، میتوانید بسیاری از مسائل شامل بسط عبارتهای تواندار و همچنین تجزیه چندجملهایها را به سادگی حل کنید. این اتحاد پایهای برای درک مفاهیم پیشرفتهتر در ریاضیات مانند بسط چندجملهایها و نظریه ترکیبیات است.
پاورقیها
1مکعب تفاضل (Cube of a Difference): اتحاد $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
2اتحاد مربع سهتایی (Trinomial Square): نام دیگر اتحاد مکعب مجموع به دلیل داشتن سه جمله در بسط آن.
3خاصیت پخشپذیری (Distributive Property): قانونی که میگوید $a(b+c) = ab + ac$
4بسط دوجملهای (Binomial Expansion): فرمولی برای بسط عبارتهایی به صورت $(x+y)^n$ با استفاده از ضرایب مثلث خیام-پاسکال.
2اتحاد مربع سهتایی (Trinomial Square): نام دیگر اتحاد مکعب مجموع به دلیل داشتن سه جمله در بسط آن.
3خاصیت پخشپذیری (Distributive Property): قانونی که میگوید $a(b+c) = ab + ac$
4بسط دوجملهای (Binomial Expansion): فرمولی برای بسط عبارتهایی به صورت $(x+y)^n$ با استفاده از ضرایب مثلث خیام-پاسکال.
