قانون توانِ حاصلضرب: دروازهای به دنیای توانهای گویا
۱. مبانی: از توان صحیح تا توان گویا
شاید با قانون توان حاصلضرب برای نماهای صحیح آشنا باشید: $(ab)^n = a^n b^n$. این قانون میگوید که اگر حاصلضرب دو عدد را به توان یک عدد صحیح برسانیم، میتوانیم ابتدا هر کدام را به طور جداگانه به آن توان برسانیم و سپس نتیجه را در هم ضرب کنیم. اما وقتی نما از دایرهٔ اعداد صحیح خارج شود و به قلمرو اعداد گویا (کسری) قدم بگذارد، چه اتفاقی میافتد؟ توان گویا در حقیقت پلی بین توان و ریشه است. برای درک این قانون در حالت کلی، ابتدا باید مفهوم توان گویا را بهخوبی بشناسیم.
توان گویا با صورت کسری مانند $r = \frac{m}{n}$ (که در آن $m$ و $n$ اعداد صحیح و $n > 0$ هستند) به صورت $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$ تعریف میشود. به عبارت دیگر، مخرج کسر ($n$) نشاندهندهٔ فرجهٔ ریشه و صورت ($m$) نشاندهندهٔ توان عدد زیر ریشه است. برای مثال، $8^{\frac{2}{3}}$ برابر است با $\sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$ یا $(\sqrt[3]{8})^2 = (2)^2 = 4$. دقت کنید که در تمام این مقاله، پایههای توان ($a$ و $b$) را مثبت در نظر میگیریم تا از تعریفهای تک مقداری و بدون ابهام برای ریشههای زوج اطمینان حاصل کنیم.
۲. اثبات قانون برای توانهای گویا
فرض کنید $a$ و $b$ دو عدد مثبت و $r = \frac{m}{n}$ یک عدد گویا باشد. میخواهیم نشان دهیم $(ab)^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m}{n}} b^{\frac{m}{n}}$. اثبات با استفاده از تعریف توان گویا و قوانین توانهای صحیح انجام میشود:
- طرف چپ معادله را با تعریف توان گویا مینویسیم: $(ab)^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{(ab)^m}$.
- از آنجا که $m$ یک عدد صحیح است، برای عبارت داخل ریشه میتوانیم از قانون توان حاصلضرب برای توان صحیح استفاده کنیم: $(ab)^m = a^m b^m$. بنابراین: $\sqrt[n]{(ab)^m} = \sqrt[n]{a^m b^m}$.
- حال خاصیت مهم ریشهگیری از حاصلضرب را به کار میگیریم. برای اعداد مثبت، ریشهٔ $n$-ام حاصلضرب دو عدد برابر است با حاصلضرب ریشهٔ $n$-ام آن دو عدد: $\sqrt[n]{a^m b^m} = \sqrt[n]{a^m} \times \sqrt[n]{b^m}$.
- در نهایت، با برگرداندن ریشهها به فرم توان گویا، به رابطهٔ مطلوب میرسیم: $\sqrt[n]{a^m} \times \sqrt[n]{b^m} = a^{\frac{m}{n}} \times b^{\frac{m}{n}}$.
۳. کاربرد عملی: از مساحت تا فیزیک
این قانون صرفاً یک بازی ریاضی نیست؛ در حل مسائل علمی و مهندسی کاربرد فراوان دارد. فرض کنید میخواهیم مساحت یک مربع را با ضلع $2\sqrt{3}$ متر محاسبه کنیم. مساحت برابر است با $(2\sqrt{3})^2$. با استفاده از قانون توان حاصلضرب برای توان $2$ (که یک عدد گویا است) داریم: $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \times (\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$ متر مربع. به همین سادگی!
در فیزیک، هنگام کار با کمیتهایی که با توانهای کسری ظاهر میشوند، این قانون بسیار حیاتی است. برای مثال، دوره تناوب یک آونگ ساده از رابطه $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ به دست میآید. اگر بخواهیم این رابطه را به صورت توانی بنویسیم، داریم $T = 2\pi (\frac{L}{g})^{\frac{1}{2}}$. با استفاده از قانون توان حاصلضرب برای توان کسری $\frac{1}{2}$، میتوانیم آن را به صورت $T = 2\pi L^{\frac{1}{2}} g^{-\frac{1}{2}}$ نیز بنویسیم که در برخی محاسبات مشتقگیری فیزیکی مفیدتر است.
۴. چالشهای مفهومی
✅ پاسخ: دلیل اصلی، یکتایی و تعریفپذیری ریشههای زوج برای اعداد منفی است. اگر $a=-1$ و $b=-1$ و $r=\frac{1}{2}$ باشد، طرف چپ معادله $((-1)\times(-1))^{\frac{1}{2}} = (1)^{\frac{1}{2}} = 1$ است. اما طرف راست $(-1)^{\frac{1}{2}} \times (-1)^{\frac{1}{2}}$ در اعداد حقیقی تعریفنشده است (چون ریشهٔ دوم یک عدد منفی در اعداد حقیقی وجود ندارد). برای جلوگیری از این ابهامها، دامنه را به اعداد مثبت محدود میکنیم تا قانون همواره و بهطور یکتا برقرار باشد.
✅ پاسخ: خیر. قانون توان حاصلضرب فقط برای ضرب (و تقسیم، چون $(\frac{a}{b})^r = a^r b^{-r}$) معتبر است. برای جمع و تفریق، قانون مشابهی نداریم. برای مثال، $(4-1)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$ است، در حالی که $4^{\frac{1}{2}} - 1^{\frac{1}{2}} = 2 - 1 = 1$ و این دو با هم برابر نیستند. هرگز توان را روی جمع یا تفریق پخش نکنید!
✅ پاسخ: عدد $50$ را به صورت حاصلضرب یک مربع کامل در یک عدد مینویسیم: $50 = 25 \times 2$. بنابراین $\sqrt{50} = (25 \times 2)^{\frac{1}{2}}$. با اعمال قانون داریم: $(25)^{\frac{1}{2}} \times (2)^{\frac{1}{2}} = 5 \times \sqrt{2}$. این سادهسازی، کار با عبارات شامل رادیکال را بسیار آسانتر میکند.
پاورقی
1توان گویا (Rational Exponent): به توانی گفته میشود که خود یک عدد گویا (قابل نمایش به صورت کسر $\frac{m}{n}$) باشد. این مفهوم، عملیات ریشهگیری را در قالب توانرسانی بیان میکند.
2فرجه (Index/Order of Root): عددی است که نشان میدهد ریشه، چند بار در خودش ضرب شود تا عدد زیر ریشه به دست آید. در $\sqrt[n]{a}$، عدد $n$ فرجهٔ ریشه است.
3پایه (Base): در عبارت $a^r$، عدد $a$ را پایه مینامند. در این مقاله، پایهها اعداد حقیقی مثبت در نظر گرفته شدهاند.