ریشه چهارم: عددی که اگر به توان ۴ برسد، عدد دادهشده را به دست دهد
تعریف و نمادگذاری ریشه چهارم
در ریاضیات، ریشه چهارم یک عدد حقیقی یا مختلط مانند a، عددی مانند b است به گونهای که: $ b^4 = a $. به عبارت دیگر، عمل ریشه چهارم عکس عمل به توان رساندن (توان چهار) است. نماد ریشه چهارم به صورت $ \sqrt[4]{a} $ نمایش داده میشود. به عدد داخل رادیکال (اینجا a) «رادیکال» یا «زیر رادیکال» و به عدد 4 «فرجه» ریشه میگویند.
برای مثال، ریشه چهارم عدد 16 برابر با 2 است، زیرا: $ 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 $. همچنین ریشه چهارم عدد 81 برابر 3 است، چون $ 3^4 = 81 $.
نکته بسیار مهم: اعداد مثبت دو ریشه چهارم حقیقی دارند: یکی مثبت و دیگری منفی. به عنوان مثال، ریشههای چهارم عدد 16 اعداد 2 و -2 هستند، زیرا $ (-2)^4 = 16 $. اما در حالت کلی، وقتی از نماد $ \sqrt[4]{a} $ استفاده میکنیم (به خصوص برای اعداد مثبت)، منظور همان ریشه چهارم اصلی (مثبت) است که به آن ریشه چهارم حسابی1 میگویند.
ارتباط ریشه چهارم با توان کسری
یکی از مهمترین مفاهیم در جبر، ارتباط بین ریشهگیری و توانهای کسری است. به طور کلی، ریشه چهارم یک عدد را میتوان به صورت توانی با مخرج 4 نوشت: $ \sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}} $. این رابطه برای تمام اعداد مثبت a برقرار است. این نمایش، کار با ریشهها را در معادلات و توابع بسیار سادهتر میکند، زیرا قوانین توانها مانند $ (a^m)^n = a^{m \times n} $ و $ a^m \times a^n = a^{m+n} $ بر روی آنها قابل اعمال است.
با استفاده از نمایش کسری: $ \sqrt[4]{16} \times \sqrt[4]{16} = 16^{\frac{1}{4}} \times 16^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4 $.
خواص جبری ریشه چهارم
ریشه چهارم نیز مانند سایر ریشهها دارای خواص جبری مشخصی است که در محاسبات و سادهسازی عبارات ریاضی بسیار کاربردی هستند. مهمترین این خواص در جدول زیر خلاصه شده است. در تمام موارد، فرض میکنیم که a و b اعداد مثبت هستند.
| خاصیت | فرمول ریاضی | مثال عددی |
|---|---|---|
| ضرب | $ \sqrt[4]{a \times b} = \sqrt[4]{a} \times \sqrt[4]{b} $ | $ \sqrt[4]{16 \times 81} = \sqrt[4]{1296} = 6 $ و $ \sqrt[4]{16} \times \sqrt[4]{81} = 2 \times 3 = 6 $ |
| تقسیم | $ \sqrt[4]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[4]{a}}{\sqrt[4]{b}} $ | $ \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{3}{2} = 1.5 $ |
| توان | $ (\sqrt[4]{a})^n = \sqrt[4]{a^n} $ | $ (\sqrt[4]{4})^3 = \sqrt[4]{4^3} = \sqrt[4]{64} \approx 2.828 $ |
| ریشه مکرر | $ \sqrt[4]{\sqrt{a}} = \sqrt[8]{a} $ | $ \sqrt[4]{\sqrt{256}} = \sqrt[4]{16} = 2 $ و $ \sqrt[8]{256} = 2 $ |
کاربرد عملی: محاسبه مساحت و ابعاد
یکی از کاربردهای ساده و ملموس ریشه چهارم در هندسه و مسائل مربوط به مساحت و ابعاد اشکال است. فرض کنید میخواهیم طول ضلع یک مربع را بر حسب مساحت آن به دست آوریم: $ S = a^2 \Rightarrow a = \sqrt{S} $. حال اگر این رابطه را به یک مکعب تعمیم دهیم، برای بهدست آوردن طول یال یک مکعب از روی حجم آن، از ریشه سوم استفاده میکنیم: $ V = a^3 \Rightarrow a = \sqrt[3]{V} $.
اما ریشه چهارم کجا استفاده میشود؟ فرض کنید یک هایپرکیوب2 یا مکعب چهاربعدی (تسرکت3) داشته باشیم. «حجم» یک تسرکت که به آن ابرحجم4 میگویند، با رابطه $ H = a^4 $ محاسبه میشود، که در آن a طول یال آن است. بنابراین، اگر ابرحجم یک تسرکت مشخص باشد، طول یال آن از رابطه $ a = \sqrt[4]{H} $ به دست میآید.
با استفاده از فرمول $ a = \sqrt[4]{H} $، داریم: $ a = \sqrt[4]{625} $. میدانیم که $ 5^4 = 625 $، بنابراین طول یال برابر $ 5 $ واحد است.
همچنین در فیزیک، برخی فرمولهای مربوط به تشعشع و امواج شامل ریشه چهارم میشوند. برای مثال، طبق قانون استفان-بولتزمن5، توان تابشی یک جسم سیاه با توان چهارم دمای مطلق آن متناسب است. بنابراین برای یافتن دما از روی توان تابشی، نیاز به ریشه چهارم داریم: $ P \propto T^4 \Rightarrow T \propto \sqrt[4]{P} $.
چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
پاسخ: زیرا هیچ عدد حقیقی وجود ندارد که با به توان چهار رسیدن به یک عدد منفی برسد. توان چهار هر عدد حقیقی (خواه مثبت، خواه منفی) همواره نامنفی (مثبت یا صفر) است. در نتیجه، ریشه چهارم اعداد منفی در سیستم اعداد حقیقی تعریفنشده است. برای یافتن پاسخ این ریشهها باید وارد مجموعه اعداد مختلط شویم.
پاسخ: این دو عبارت در حالت کلی با هم برابر نیستند و دامنه تعریف متفاوتی دارند. در $ (\sqrt[4]{x})^2 $، ابتدا باید x نامنفی باشد تا $ \sqrt[4]{x} $ تعریف شود، سپس آن را به توان دو میرسانیم. اما در $ \sqrt[4]{x^2} $، ابتدا x به توان دو میرسد که همیشه نامنفی است، بنابراین ریشه چهارم آن برای هر x حقیقی تعریف میشود. برای x مثبت، هر دو عبارت برابر $ \sqrt{x} $ هستند. اما برای x منفی، دومی تعریف نمیشود و اولی برابر $ \sqrt{-x} $ نیست.
پاسخ: این معادله دو جواب حقیقی دارد. از هر دو طرف معادله ریشه چهارم میگیریم: $ x = \pm \sqrt[4]{16} $. از آنجا که $ \sqrt[4]{16} = 2 $، مجموعه جواب به صورت $ \{+2, -2\} $ خواهد بود. توجه کنید که نماد $ \sqrt[4]{16} $ به تنهایی فقط نشاندهنده جواب مثبت (ریشه اصلی) است، اما برای حل معادله باید هر دو جواب مثبت و منفی را در نظر بگیریم.
پاورقی
1ریشه چهارم حسابی (Principal Fourth Root): برای اعداد حقیقی مثبت، ریشه چهارم حسابی همان ریشه چهارم مثبت است. برای مثال، ریشه چهارم حسابی 16 عدد 2 است.
2هایپرکیوب (Hypercube): یک تعمیم از مربع (در دو بعد) و مکعب (در سه بعد) به ابعاد بالاتر است.
3تسرکت (Tesseract): نام خاص هایپرکیوب در فضای چهاربعدی است.
4ابرحجم (Hypervolume): اندازه فضای محصور شده توسط یک جسم در فضای با ابعاد بالاتر از سه. برای یک تسرکت، ابرحجم برابر است با حاصلضرب طول در عرض در ارتفاع در بعد چهارم (طول یال به توان چهار).
5قانون استفان-بولتزمن (Stefan–Boltzmann law): در فیزیک، این قانون بیان میکند که کل انرژی تابش شده از یک جسم سیاه در واحد سطح، با توان چهارم دمای مطلق آن جسم متناسب است.
