قانون توانِ حاصلضرب: پل ارتباطی میان اعداد و توانهای گویا
مبانی توانهای گویا و ریشهها
برای درک قانون $ (ab)^r = a^r b^r $، ابتدا باید بدانیم توان گویا2 چیست. یک عدد مانند $ r $ که به صورت کسر $ \frac{m}{n} $ (با $ m $ و $ n $ اعداد صحیح و $ n>0 $) نوشته میشود، یک عدد گویا است. مفهوم $ a^{\frac{m}{n}} $ به دو صورت معنی میدهد: اول اینکه $ a $ را ابتدا به توان $ m $ برسانیم و سپس ریشهٔ $ n $-ام آن را بگیریم ($ \sqrt[n]{a^m} $)، و دوم اینکه ابتدا ریشهٔ $ n $-ام $ a $ را گرفته و سپس آن را به توان $ m $ برسانیم ($ (\sqrt[n]{a})^m $). برای $ a>0 $ هر دو تعریف معادل و معتبر هستند. به عنوان مثال، $ 8^{\frac{2}{3}} $ را میتوان به صورت $ (8^{\frac{1}{3}})^2 = 2^2 = 4 $ یا $ (8^2)^{\frac{1}{3}} = 64^{\frac{1}{3}} = 4 $ محاسبه کرد. شرط $ a,b>0 $ تضمین میکند که ریشهگیری برای تمام توانهای گویا (حتی زمانی که $ n $ زوج باشد) در اعداد حقیقی تعریف شده و مبهم نباشد.
صورتبندی قانون و اثبات شهودی آن
قانون توان حاصلضرب برای توانهای گویا3 به این شکل بیان میشود: اگر $ a $ و $ b $ دو عدد حقیقی مثبت باشند و $ r $ یک عدد گویا (به صورت کسر $ \frac{m}{n} $)، آنگاه:
برای اثبات این قانون، از تعریف ریشه استفاده میکنیم. میدانیم که $ x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x} $. ابتدا قانون را برای حالت خاص $ r = \frac{1}{n} $ بررسی میکنیم. طبق خاصیت ریشهگیری، ریشهٔ $ n $-ام یک حاصلضرب برابر است با حاصلضرب ریشههای $ n $-ام:
$ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} $حال فرض میکنیم $ r = \frac{m}{n} $. داریم:
$ (ab)^{\frac{m}{n}} = \left( (ab)^{\frac{1}{n}} \right)^m = \left( \sqrt[n]{ab} \right)^m $با استفاده از خاصیت ریشهگیری حاصلضرب:
$ = \left( \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} \right)^m $حال از قانون توان برای توانهای صحیح استفاده میکنیم ( $ (xy)^m = x^m y^m $ ):
$ = (\sqrt[n]{a})^m \times (\sqrt[n]{b})^m $و در نهایت با بازگشت به تعریف توان گویا:
$ = a^{\frac{m}{n}} \times b^{\frac{m}{n}} $بدین ترتیب قانون برای همهٔ اعداد گویای $ r $ اثبات میشود. این اثبات نشان میدهد که چگونه قانون توان صحیح و خاصیت ریشهگیری، به قانون توان گویا تعمیم مییابند.
| مرحله | عملیات ریاضی | توضیح |
|---|---|---|
| 1 | $ (ab)^{\frac{m}{n}} $ | عبارت اولیه |
| 2 | $ = ((ab)^{\frac{1}{n}})^m $ | تبدیل توان گویا به توان صحیح و ریشه |
| 3 | $ = (\sqrt[n]{ab})^m $ | نوشتن به صورت رادیکالی |
| 4 | $ = (\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b})^m $ | خاصیت ریشهگیری از حاصلضرب |
| 5 | $ = (\sqrt[n]{a})^m \times (\sqrt[n]{b})^m $ | توانگیری صحیح از حاصلضرب |
| 6 | $ = a^{\frac{m}{n}} \times b^{\frac{m}{n}} $ | بازگشت به نماد توان گویا |
کاربرد قانون در حل مسائل و سادهسازی عبارتها
این قانون ابزاری قدرتمند برای سادهسازی عبارات جبری و محاسبات عددی است. فرض کنید میخواهیم حاصل $ (16 \times 81)^{\frac{1}{4}} $ را بهدست آوریم. بدون استفاده از قانون، ابتدا باید $ 16 \times 81 = 1296 $ را محاسبه کرده و سپس ریشهٔ چهارم آن را پیدا کنیم که کار دشواری است. با استفاده از قانون:
$ (16 \times 81)^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}} \times 81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} \times \sqrt[4]{81} = 2 \times 3 = 6 $همچنین در جبر، برای سادهسازی عبارات شامل متغیرها بسیار مفید است. به عنوان مثال:
$ (25x^4 y^2)^{\frac{3}{2}} = (25)^{\frac{3}{2}} \times (x^4)^{\frac{3}{2}} \times (y^2)^{\frac{3}{2}} $برای هر عامل:
- $ 25^{\frac{3}{2}} = (25^{\frac{1}{2}})^3 = 5^3 = 125 $
- $ (x^4)^{\frac{3}{2}} = x^{4 \times \frac{3}{2}} = x^6 $
- $ (y^2)^{\frac{3}{2}} = y^{2 \times \frac{3}{2}} = y^3 $
بنابراین حاصل عبارت $ 125 x^6 y^3 $ خواهد بود. این قانون در فیزیک، برای تحلیل ابعاد کمیتها و در اقتصاد، برای توابع تولید کاب-داگلاس4 که به شکل $ Q = K^{\alpha} L^{\beta} $ هستند، کاربرد دارد.
چالشهای مفهومی
پاسخ: اگر $ a $ یا $ b $ منفی باشند و $ r $ دارای مخرج زوج (مثلاً $ r=\frac{1}{2} $) باشد، آنگاه $ a^r $ در اعداد حقیقی تعریفنشده است. حتی اگر تکتک $ a^r $ و $ b^r $ تعریف شوند (مثلاً $ a=-8, b=-2, r=\frac{1}{3} $)، قانون ممکن است برقرار باشد، اما به دلیل ابهام در تعریف توانهای گویای اعداد منفی (بهویژه در مخرج زوج)، برای حفظ عمومیت و صحت قانون، دامنه به اعداد مثبت محدود میشود. برای $ a=-8, b=-2 $ و $ r=1/3 $، سمت چپ $ ((-8)\times(-2))^{1/3} = 16^{1/3} = \sqrt[3]{16} \approx 2.52 $ و سمت راست $ (-8)^{1/3} \times (-2)^{1/3} = (-2) \times (-\sqrt[3]{2}) = 2\sqrt[3]{2} \approx 2.52 $ است و قانون برقرار است، اما به دلیل استثناها، این قانون را معمولاً برای اعداد مثبت اثبات میکنیم.
پاسخ: خیر، این یک باور غلط رایج است. توانگیری بر روی جمع خاصیت پخشی5 ندارد. برای مثال، $ (4+9)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{13} \approx 3.606 $ است، در حالی که $ 4^{\frac{1}{2}} + 9^{\frac{1}{2}} = 2 + 3 = 5 $ میباشد. این دو مقدار با هم برابر نیستند. قانون توان حاصلضرب فقط برای ضرب (و به طریق اولی برای تقسیم) معتبر است و به جمع و تفریق تعمیم داده نمیشود.
پاسخ: بله، با فرض $ a,b>0 $، قانون برای توانهای منفی نیز صادق است. دلیل آن را میتوان با استفاده از تعریف توان منفی $ x^{-r} = \frac{1}{x^r} $ و قانونی که برای توان مثبت اثبات کردیم، نشان داد. فرض کنید $ r = -s $ که $ s>0 $ و گویا است. داریم: $ (ab)^{-s} = \frac{1}{(ab)^s} = \frac{1}{a^s b^s} = \frac{1}{a^s} \times \frac{1}{b^s} = a^{-s} b^{-s} $. بنابراین قانون برای توانهای منفی نیز به طور یکسان عمل میکند.
پاورقی
2توان گویا (Rational Exponent): توانی که خود یک عدد گویا است و مفهوم ریشهگیری را در خود دارد.
3قانون توان حاصلضرب (Power of a Product Rule): قانونی که میگوید توان یک حاصلضرب برابر حاصلضرب توانها است.
4تابع تولید کاب-داگلاس (Cobb-Douglas Production Function): تابعی پرکاربرد در اقتصاد که رابطه میان ستاده و دو یا چند ورودی را نشان میدهد.
5خاصیت پخشی (Distributive Property): خاصیتی که در آن یک عملگر روی تکتک جملات یک عبارت تأثیر میگذارد (مثلاً ضرب نسبت به جمع خاصیت پخشی دارد، اما توان نسبت به جمع ندارد).
