بازه مقدارهای سینوس و کسینوس: برای هر زاویه θ، مقدارهای sinθ و cosθ بین −۱ و ۱ قرار دارند

بازه مقادیر سینوس و کسینوس: چرا هر زاوی‌ای بین منفی یک و یک است؟

۱. خاستگاه هندسی: دایرۀ واحد و مختصات نقاط

برای درک دلیل محدود بودن مقادیر سینوس و کسینوس، باید به سراغ دایرۀ واحد (دایره‌ای به شعاع ۱) رفت. فرض کنید دایره‌ای به مرکز مبدأ مختصات (۰,۰) و شعاع ۱ داریم. برای هر زاویۀ θ (تتا) که از نیم‌محور مثبت xها در خلاف جهت عقربه‌های ساعت می‌سنجیم، نقطۀ P روی محیط دایره به مختصات (x , y) تعریف می‌شود. در این تعریف، مقدار x همان cos θ و مقدار y همان sin θ است. از آنجا که همۀ نقاط روی این دایره دقیقاً به اندازۀ ۱ واحد از مرکز فاصله دارند، مختصات آنها هرگز نمی‌تواند از ۱ بزرگتر یا از -۱ کوچکتر شود. به عبارت دیگر، طول هر ضلع مثلث قائم‌الزاویۀ تشکیل‌شده (که همان cos θ و sin θ هستند) هرگز از وتر که همان شعاع دایره (۱) است، تجاوز نمی‌کند. مثال علمی: یک نردبان به طول ۱ متر را در نظر بگیرید که به دیوار تکیه داده شده است. اگر زاویۀ نردبان با زمین θ باشد، فاصلۀ پای نردبان تا دیوار (cos θ) و ارتفاع سر نردبان از زمین (sin θ) همواره کمتر یا مساوی ۱ متر است. اگر نردبان کاملاً خوابیده باشد (θ = ۰)، cos θ = ۱ و sin θ = ۰ است. اگر کاملاً ایستاده باشد (θ = ۹۰°)، cos θ = ۰ و sin θ = ۱ خواهد بود.

۲. قضیۀ فیثاغورس و رابطۀ بنیادی

ارتباط نزدیک بین سینوس و کسینوس با دایرۀ واحد، به یک معادلۀ جبری بسیار مهم منجر می‌شود. بنا بر قضیۀ فیثاغورس (فیثاغورث³)، برای هر نقطۀ (cos θ , sin θ) روی دایرۀ واحد، رابطۀ زیر همواره برقرار است: $ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $ این رابطه نشان می‌دهد که مجموع مربعات سینوس و کسینوس یک زاویه همواره برابر ۱ است. از آنجا که مربع یک عدد هرگز منفی نیست، می‌توان نتیجه گرفت: * اگر $ \cos^2 \theta \le 1 $ باشد، آن‌گاه $ -1 \le \cos \theta \le 1 $. * اگر $ \sin^2 \theta \le 1 $ باشد، آن‌گاه $ -1 \le \sin \theta \le 1 $. به‌بیان ساده‌تر، اگر یکی از این دو مقدار بخواهد از ۱ بزرگتر شود، مربع آن از ۱ بیشتر می‌شود و برای اینکه مجموع با مربع دیگری به ۱ برسد، مجبوریم مربع آن دیگری را منفی در نظر بگیریم که غیرممکن است. بنابراین محدودیت $ [-1 , 1] $ یک الزام ریاضی انکارناپذیر است.

۳. کاربرد عملی: تحلیل موج و نوسان‌گرها

محدود بودن سینوس و کسینوس در دنیای واقعی کاربردهای فراوانی دارد. در فیزیک، بسیاری از پدیده‌های نوسانی مانند حرکت آونگ (آونگ ساده⁴) یا جریان متناوب برق (جریان متناوب⁵) با توابع سینوسی مدل‌سازی می‌شوند. فرض کنید ولتاژ برق شهر با تابع $ V(t) = V_0 \sin(2\pi f t) $ توصیف می‌شود. در اینجا $ V_0 $ بیشینۀ ولتاژ (دامنه) است. مقدار $\sin(...)$ همیشه بین $-1$ و $1$ در نوسان است، بنابراین ولتاژ لحظه‌ای $V(t)$ نیز بین $-V_0$ و $+V_0$ تغییر می‌کند. اگر این محدودیت نبود، وسایل برقی نمی‌توانستند برای یک بازۀ ولتاژ مشخص طراحی شوند.

۴. چالش‌های مفهومی (پرسش و پاسخ)

پاورقی‌ها