چرا تانژانت یک زاویه تعریفنشده میشود؟ راز کسینوس صفر
۱. تعریف تانژانت: از مثلث قائمالزاویه تا دایرهٔ واحد
برای درک دلیل تعریفنشده بودن تانژانت، ابتدا باید بدانیم این تابع چگونه تعریف میشود. در یک مثلث قائمالزاویه، تانژانت یک زاویۀ حاد به صورت نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور تعریف میگردد. اما تعریف عمومیتر و کاملتر آن بر اساس توابع سینوس و کسینوس است:
$ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $این فرمول کلید فهم ماجراست. همچنین در دایرهٔ واحد (دایرهای به شعاع 1)، مقدار $ \cos\theta $ برابر با مختصات x نقطۀ روی دایره و $ \sin\theta $ برابر با مختصات y آن نقطه است. بنابراین تانژانت در دایرهٔ واحد به صورت شیب خط واصل نقطه به مبدأ نیز تعبیر میشود .
۲. ریشۀ اصلی: ممنوعیت تقسیم بر صفر در ریاضیات
در ریاضیات، تقسیم هر عددی بر صفر تعریفنشده است. این یک قانون اساسی و غیرقابلتغییر است. به عبارت دیگر، کسر $ \frac{a}{0} $ (که در آن a یک عدد حقیقی است) هیچ مقدار مشخصی ندارد . اگر به تابع تانژانت به چشم یک کسر نگاه کنیم:
$ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $در این کسر، $ \sin\theta $ صورت کسر و $ \cos\theta $ مخرج کسر است. هرگاه مخرج کسر یعنی $ \cos\theta $ برابر با صفر شود، با عمل تقسیم بر صفر مواجه میشویم که در ریاضیات مجاز نیست. در نتیجه، عبارت $ \tan\theta $ برای آن زاویۀ خاص، تعریفنشده اعلام میگردد .
۳. زوایای بحرانی: چه زاویهای کسینوس آن صفر میشود؟
حال پرسش این است: کدام زاویهها ($ \theta $) باعث میشوند که $ \cos\theta $ مقدار صفر پیدا کند؟ با نگاه به دایرهٔ واحد و محور xها (که همان کسینوس است)، متوجه میشویم که این اتفاق در بالاترین و پایینترین نقاط دایره رخ میدهد؛ جایی که نقطه روی دایره به ترتیب مختصات (0,1) و (0,-1) را دارد. این نقاط معادل زوایای $ 90^\circ $ و $ 270^\circ $ هستند . در جدول زیر، مقادیر مهم و حالت تعریفنشده نشان داده شده است:
| زاویه بر حسب درجه | زاویه بر حسب رادیان | sinθ | cosθ | tanθ |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | تعریفنشده |
| 180° | π | 0 | -1 | 0 |
| 270° | 3π/2 | -1 | 0 | تعریفنشده |
همانطور که در جدول مشاهده میشود، در $ \theta = 90^\circ $ و $ \theta = 270^\circ $، مقدار $ \cos\theta $ دقیقاً صفر است و در نتیجه $ \tan\theta $ تعریفنشده میشود. به همین ترتیب، برای زوایایی مثل $ \frac{\pi}{2} + k\pi $ که در آن k یک عدد صحیح است (مانند $ \frac{5\pi}{2} $ و ...)، این وضعیت تکرار میشود .
۴. کاربرد عملی: اشتباه رایج بین «تعریفنشده» و «صفر»
یک مثال عینی: فرض کنید در یک مسئله فیزیک، میخواهیم شیب یک خط را که با محور x زاویۀ $ 90^\circ $ میسازد (یعنی یک خط قائم) محاسبه کنیم. شیب این خط بینهایت است، اما در ریاضیات، «بینهایت» یک عدد نیست و ما میگوییم شیب تعریفنشده است. این دقیقاً همان جایی است که $ \tan 90^\circ $ تعریفنشده میشود. در مقابل، برای یک خط افقی با زاویۀ $ 0^\circ $، شیب صفر است و $ \tan 0^\circ = 0 $. این دو مفهوم کاملاً متفاوت هستند: صفر بودن یک مقدار ریاضی معتبر است، اما تعریفنشده بودن به معنای عدم وجود آن مقدار است .
مثال دیگر در محاسبات مثلثاتی: عبارت $ \frac{1+\tan\theta}{1-\tan\theta} $ نه تنها زمانی که $ \tan\theta $ تعریفنشده است (یعنی $ \cos\theta=0 $)، بلکه زمانی که $ 1-\tan\theta = 0 $ هم تعریفنشده میشود. اما علت اصلی تعریفنشدن تانژانت همچنان به $ \cos\theta=0 $ بازمیگردد .
۵. چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: آیا تابع تانژانت در زاویۀ $ \theta = \frac{\pi}{2} $ بینهایت میشود یا تعریفنشده است؟
✅ پاسخ: از نظر ریاضی، مقدار $ \tan(\frac{\pi}{2}) $ تعریفنشده است. اگر به نمودار تانژانت نگاه کنیم، یک خط مجانب قائم در این نقطه دارد که نشان میدهد تابع به سمت مثبت بینهایت (از چپ) و منفی بینهایت (از راست) میل میکند، اما هرگز به یک مقدار مشخص نمیرسد. بنابراین گفتن «بینهایت» از نظر محاسباتی دقیق نیست و صحیحترین عبارت «تعریفنشده» است .
❓ چالش ۲: آیا تابع کتانژانت نیز در شرایط مشابه تانژانت تعریفنشده میشود؟
✅ پاسخ: خیر، عکس این موضوع صادق است. تابع کتانژانت ($ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $) زمانی تعریفنشده است که مخرج کسر، یعنی $ \sin\theta $، برابر با صفر باشد. این اتفاق در زوایای $ 0^\circ $ و $ 180^\circ $ رخ میدهد. بنابراین توابع تانژانت و کتانژانت در نقاط متفاوتی تعریفنشده میشوند .
❓ چالش ۳: اگر $ \tan\theta $ تعریفنشده باشد، آیا $ \sin\theta $ و $ \cos\theta $ نیز تعریفنشده هستند؟
✅ پاسخ: خیر. در زاویۀ $ \frac{\pi}{2} $، مقدار $ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $ و $ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $ است. هر دوی این توابع در این نقطه تعریف شده و مقدار مشخصی دارند. مشکل تانژانت از ترکیب این دو (یعنی تقسیم بر صفر) ناشی میشود، نه از تعریفنشده بودن خود سینوس یا کسینوس .
? نکتهٔ طلایی: ریشۀ تعریفنشدن تانژانت در یک قانون ساده اما بنیادی ریاضی نهفته است: تقسیم بر صفر. از آنجایی که $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $، هرگاه $ \cos\theta = 0 $ (که در زوایای $ \frac{\pi}{2} + k\pi $ رخ میدهد)، با تقسیم بر صفر مواجه شده و تابع تعریفنشده میشود. این نقاط بر روی نمودار تانژانت به صورت خطوط مجانب قائم ظاهر میشوند. همیشه به یاد داشته باشید که «تعریفنشده» با «صفر» تفاوت دارد؛ صفر یک مقدار مشخص است، اما تعریفنشده به معنای نبود آن مقدار در دامنۀ تابع است.
پاورقیها
[1]دایرۀ واحد (Unit Circle): دایرهای به شعاع ۱ که مرکز آن روی مبدأ مختصات قرار دارد و برای تعریف توابع مثلثاتی در همه زوایا به کار میرود.
[2]مجانب قائم (Vertical Asymptote): خطی قائم که نمودار تابع به آن نزدیک و نزدیکتر میشود، اما هرگز به آن نمیرسد. تابع در آن نقطه تعریفنشده است.
[3]تانژانت (Tangent): یکی از نسبتهای مثلثاتی که از تقسیم سینوس بر کسینوس یک زاویه به دست میآید و برابر با شیب خط مماس بر دایرهٔ واحد در آن زاویه است.
