جمله nام دنباله حسابی
۱. مبانی: تعریف دنباله حسابی و جمله nام
به زبانی ساده، دنباله حسابی به مجموعهای از اعداد میگویند که در آن فاصلهٔ هر دو عدد متوالی همیشه مقداری ثابت است. به این فاصلهٔ ثابت، «قدر نسبت» یا «اختلاف مشترک» میگوییم و معمولاً آن را با نماد d نشان میدهیم.
فرض کنید جملههای دنباله را با t1 (اولین جمله)، t2 (دومین جمله) و ... تا tn (جمله nام) نامگذاری کنیم. برای یک دنبالهٔ حسابی داریم:
$t_2 = t_1 + d$$t_3 = t_2 + d = t_1 + 2d$
$t_4 = t_3 + d = t_1 + 3d$
اگر به این الگو دقت کنید، متوجه میشوید که برای رسیدن به جملهٔ nام، باید (n-1) بار اختلاف مشترک را به جملهٔ اول اضافه کنیم. یعنی:
مثال: اگر اولین جمله t1 = 5 و اختلاف مشترک d = 3 باشد، جملهٔ پنجم برابر است با t5 = 5 + (5-1) × 3 = 5 + 12 = 17. بهراحتی میتوانیم جملهٔ صدم را هم بدون نوشتن 99 جملهٔ قبلی حساب کنیم: t100 = 5 + 99 × 3 = 302.
۲. تحلیل مؤلفههای فرمول: t1 و d و n
درک صحیح فرمول نیازمند شناخت دقیق هر یک از پارامترهای آن است. در جدول زیر نقش هر کدام را بررسی کردهایم:
| مؤلفه | توضیح مفهومی | تأثیر در مقدار جمله |
|---|---|---|
| t1 (جمله اول) | شروعکنندهٔ دنباله. نقطهٔ صفر حرکت محسوب میشود. | هر قدر t1 بزرگتر باشد، تمام جملههای بعدی به همان اندازه بزرگتر میشوند. |
| d (اختلاف مشترک) | گام حرکت بین جملهها. میتواند مثبت، منفی یا صفر باشد. | d مثبت ⇒ دنباله صعودی؛ d منفی ⇒ دنباله نزولی؛ d=0 ⇒ همه جملهها ثابت. |
| n (شماره جمله) | موقعیت جمله در دنباله (همیشه یک عدد طبیعی است). | هرچه n بزرگتر شود، تعداد دفعات اضافه شدن d بیشتر میشود و تأثیر d پررنگتر میگردد. |
نکته اگر به جای جمله اول، هر جملهٔ دیگری از دنباله را داشته باشیم، مثلاً tk، میتوانیم با یک تغییر کوچک فرمول را بازنویسی کنیم: tn = tk + (n-k) × d.
۳. کاربرد عملی: از پلههای ساختمان تا برنامهریزی مالی
رابطهٔ جمله nام صرفاً یک فرمول انتزاعی نیست؛ ردپای آن را در زندگی روزمره میتوان دید. به مثالهای زیر توجه کنید:
- پلههای ساختمان: ارتفاع اولین پله از زمین 15 سانتیمتر است و هر پله بعدی 18 سانتیمتر ارتفاع دارد. ارتفاع پلهٔ دهم چند سانتیمتر است؟ اینجا t1=15، d=18، n=10. پس $t_{10}=15+(10-1)×18=15+162=177$ سانتیمتر.
- سود بانکی ساده: اگر ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ تومان با نرخ سود سادهٔ سالانه ۱۵٪ سرمایهگذاری کنید، میزان سود دریافتی هر سال ثابت است و اصل پول به همراه سود انباشته یک دنبالهٔ حسابی میسازد. ماندهٔ حساب پس از 5 سال برابر است با: $t_5=1,000,000 + 4×(150,000)=1,600,000$ تومان (چرا n-1=4؟ چون سود سال اول پس از یک سال به اصل اضافه میشود، برای یافتن مانده پس از ۵ سال، باید سود ۴ سال کامل را محاسبه کنیم).
- ردیفهای سینما: در یک سینما، ردیف اول 20 صندلی دارد و هر ردیف نسبت به ردیف قبلی 2 صندلی بیشتر دارد. تعداد صندلی ردیف پانزدهم: t15=20+(15-1)×2=20+28=48 صندلی.
در تمام این موارد، فرمول جمله nام به ما امکان داد تا بدون طی کردن گامهای میانی، مستقیماً به پاسخ دلخواه برسیم.
۴. چالشهای مفهومی: پرسش و پاسخ
✅ اگر d=0، آنگاه فرمول به tn = t1 + (n-1)×0 = t1 تبدیل میشود. یعنی همهٔ جملههای دنباله با جملهٔ اول برابر هستند و دنباله به یک عدد ثابت تبدیل میشود.
✅ بله، n شمارهٔ جمله است و بنابراین باید عددی طبیعی باشد (1,2,3,...). اما اگر کسی بخواهد مقدار جمله را برای جایگاههای غیرصحیح (مثلاً جمله ۳.۵ام) پیدا کند، مفهوم آن از یک دنبالهٔ گسسته خارج شده و وارد بحث درونیابی2 میشود.
✅ زیرا جملهٔ اول خودِ t1 است و نیازی به اضافه کردن d ندارد. برای جملهٔ دوم، یک بار d اضافه میشود، برای سومین جمله دو بار d، ... و برای nامین جمله، (n-1) بار d به جملهٔ اول اضافه میگردد. این یک شمارش ساده و منطقی است.
پاورقی
1ریاضیات پایه: (Fundamental Mathematics) به مجموعهای از مفاهیم اولیه ریاضی شامل حساب، جبر مقدماتی و هندسه ساده گفته میشود که پیشنیاز ورود به مباحث تخصصیتر است.
2درونیابی: (Interpolation) روشی برای تخمین مقادیر بین دادههای گسسته و معلوم است. در زمینه دنبالهها، درونیابی به معنی یافتن مقادیر برای جایگاههای غیرصحیح (مانند جمله ۳.۵ام) با استفاده از فرضیاتی دربارهٔ رفتار دنباله میباشد.
