چندجملهای درجهدوم: عبارت جبری به شکل an² + bn + c
از الگوی مربعهای شطرنجی تا پرتاب موشک — ریاضیات در خدمت شهود
<!-- خلاصه سئوپسند -->
✍️ در این مقاله با چندجملهای درجهدوم بهصورت گامبهگام آشنا میشوید؛ از تعریف ساده و ضریبهای
a,b,c گرفته تا تشخیص سهمی،
کاربردهای شگفتانگیز در فیزیک و اقتصاد، و حل اشتباهات رایج. مثالهای عینیِ خانهسازی، پرتاب توپ و رشد جمعیت
نشان میدهند که چرا عبارت درجهدوم یکی از مهمترین ابزارهای مدلسازی دنیای واقعی است.
<!-- ================ بخش ۱: مفهوم پایهای (مناسب دانشآموز ابتدایی) ================ -->
? شکل استاندارد؛ یک قالب ساده اما قدرتمند
فرض کنید میخواهید تعداد خانههای یک برج را برحسب شمارهی طبقه پیدا کنید. طبقهٔ اول
7 واحد، طبقهٔ دوم
11 واحد و طبقهٔ سوم
17 واحد دارد.
اگر تفاوتها ثابت نباشد ولی تغییرِ تغییرها (تفاضل دوم) ثابت شود، میفهمیم که با چندجملهای درجهدوم
سر و کار داریم. شکل کلی آن:
<!-- فرمول: span LTR جهت حفظ راستای صحیح -->
$ f(n)=a n^{2}+b n+c $
که در آن n متغیر،
a،
b و
c
ضریبهای ثابت هستند و a≠0
(در غیر این صورت درجه کاهش مییابد). بالاترین توان
2 است،
به همین دلیل به آن «درجهدوم» میگوییم.
<!-- تراشه (Chip) برای برجستهسازی نرم -->
⚡ تفاضل مرتبهٔ دوم ثابت
? شکل نمودار = سهمی
مثال عددی: فرض کنید
$f(n)=2n^{2}+3n+1$.
اگر n=1 باشد، مقدار
f(1)=2+3+1=6.
این عبارت میتواند تعداد مهرههای یک الگوی مربعی، مساحت یک باغچه با حاشیه، یا حتی سود روزانهٔ یک فروشگاه را نشان دهد.
<!-- ================ بخش ۲: تفکیک ضریبها و شهود a,b,c (مناسب دوره متوسطه) ================ -->
? راز ضریبها: a، b و c چه میگویند؟
هر ضریب در چندجملهای درجهدوم نقش ویژهای دارد:
<!-- جدول ریسپانسیو با تناوب رنگ ردیفها -->
| ضریب | نام علمی | تأثیر شهودی | مثال عددی |
|---|---|---|---|
| a | ضریب درجهٔ دوم | تعیین بازبودن سهمی (a>0 دهان رو به بالا، a | 2n² تندتر از 0.5n² |
| b | ضریب درجهٔ اول | شیب خط مماس بر سهمی در نقطهٔ برخورد با محور y؛ جابجایی محور تقارن | در n²+5n نسبت به n²+n شیب ابتدایی بیشتر است |
| c | عرض از مبدأ | مقدار چندجملهای در n=0؛ نقطهٔ شروع | در 2n²+3n+7 مقدار اولیه 7 است |
? نکتهٔ طلایی: اگر در مسئلهای دنبالهای از اعداد داشتید و تفاضلهای پشتسرِ هم (تفاضل مرتبهٔ دوم) مقدار ثابتی شد، بدانید که فرمول آن دنباله یک چندجملهای درجهدوم است. کافیست سه نقطه معلوم را در $f(n)=an^{2}+bn+c$ قرار دهید و دستگاه سه معادله حل کنید.
<!-- ================ بخش ۳: کاربرد و مثال عینی (پرتاب توپ و رشد باکتری) ================ -->
? از زمین تا فضا: کاربرد واقعی عبارت درجهدوم
? مثال ۱: پرتاب توپ
فرض کنید توپی را از ارتفاع c=2 متری با سرعت اولیه b=10 متر بر ثانیه به بالا پرتاب کنید و شتاب گرانش a=-5 (در فرمول سادهشدهٔ فیزیک) باشد. ارتفاع پس از n ثانیه: $ h(n)=-5n^{2}+10n+2 $ . این عبارت به ما میگوید بیشترین ارتفاع در n=1 ثانیه و برابر 7 متر است. بدون چندجملهای درجهدوم پیشبینی مسیر پرتاب ممکن نبود.
فرض کنید توپی را از ارتفاع c=2 متری با سرعت اولیه b=10 متر بر ثانیه به بالا پرتاب کنید و شتاب گرانش a=-5 (در فرمول سادهشدهٔ فیزیک) باشد. ارتفاع پس از n ثانیه: $ h(n)=-5n^{2}+10n+2 $ . این عبارت به ما میگوید بیشترین ارتفاع در n=1 ثانیه و برابر 7 متر است. بدون چندجملهای درجهدوم پیشبینی مسیر پرتاب ممکن نبود.
? مثال ۲: رشد جمعیت باکتری
در آزمایشگاهی تعداد باکتریها (به هزار) با رابطهٔ $ P(t)=2t^{2}+5t+8 $ تغییر میکند (t ساعت). در ساعت t=3 تعداد P=2×9+5×3+8=18+15+8=41 هزار باکتری داریم. شکل درجهدوم نشان میدهد رشد شتابدار است.
<!-- ================ بخش ۴: ریشهیابی، رأس سهمی، تشخیص بازه (مناسب پایههای بالاتر) ================ -->
در آزمایشگاهی تعداد باکتریها (به هزار) با رابطهٔ $ P(t)=2t^{2}+5t+8 $ تغییر میکند (t ساعت). در ساعت t=3 تعداد P=2×9+5×3+8=18+15+8=41 هزار باکتری داریم. شکل درجهدوم نشان میدهد رشد شتابدار است.
? ریشهها و نقطهٔ اوج؛ تحلیل کامل یک عبارت درجهدوم
اگر $f(n)=an^{2}+bn+c$ را مساوی صفر قرار دهیم، ریشههای معادله از فرمول مشهور
$ n=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $
بدست میآیند. این ریشهها نقاط برخورد سهمی با محور افقیاند.
مختصات رأس سهمی (بیشینه یا کمینهٔ عبارت) بسیار پرکاربرد است:
$ n_{0}=-\frac{b}{2a} \quad,\quad f(n_{0})=c-\frac{b^{2}}{4a} $
مثال: در مسئلهٔ پرتاب توپ، رأس در $n_{0}=-10/(2×(-5))=1$
و ارتفاع بیشینه $2-(100/(-20))=2+5=7$ است.
<!-- ================ بخش ۵: اشتباهات رایج و پرسشهای مهم (FAQ) ================ -->
❓ ۳ اشتباه پرتکرار و پاسخ به پرسشهای مهم
<!-- سؤال ۱ (با فاصلهی بین سوالات) -->
❌ ۱. آیا همیشه ضریب a همان شتاب است؟
در مسائل حرکت با شتاب ثابت بله، اما در سایر کاربردها (مثل رشد گیاه یا سود بانکی) a فقط ضریب درجهدوم است و ممکن است شتاب فیزیکی نباشد؛ اما همچنان «شتاب» تغییرات را نشان میدهد.
<!-- سؤال ۲ -->
در مسائل حرکت با شتاب ثابت بله، اما در سایر کاربردها (مثل رشد گیاه یا سود بانکی) a فقط ضریب درجهدوم است و ممکن است شتاب فیزیکی نباشد؛ اما همچنان «شتاب» تغییرات را نشان میدهد.
❌ ۲. اگر سه نقطه داشته باشیم، چگونه عبارت درجهدوم را پیدا کنیم؟
فرض کنید (1,4), (2,9), (3,18). با جایگذاری در $an^{2}+bn+c$ به دستگاه a+b+c=4, 4a+2b+c=9, 9a+3b+c=18 میرسیم. حل آن a=2,b=-1,c=3 و عبارت $2n^{2}-n+3$ میشود.
<!-- سؤال ۳ -->
فرض کنید (1,4), (2,9), (3,18). با جایگذاری در $an^{2}+bn+c$ به دستگاه a+b+c=4, 4a+2b+c=9, 9a+3b+c=18 میرسیم. حل آن a=2,b=-1,c=3 و عبارت $2n^{2}-n+3$ میشود.
❌ ۳. آیا هر چندجملهای درجهدوم حتماً دو ریشه دارد؟
خیر! مقدار $\Delta=b^{2}-4ac$ را «ممیز»[1] مینامند. اگر $\Delta>0$ دو ریشه، $\Delta=0$ یک ریشه (تکراری) و $\Delta هیچ ریشهٔ حقیقی ندارد.
<!-- ================ جمعبندی ================ -->
خیر! مقدار $\Delta=b^{2}-4ac$ را «ممیز»[1] مینامند. اگر $\Delta>0$ دو ریشه، $\Delta=0$ یک ریشه (تکراری) و $\Delta هیچ ریشهٔ حقیقی ندارد.
? جمعبندی:
چندجملهای درجهدوم با فرمول $an^{2}+bn+c$
یکی از همهکارهترین ابزارهای ریاضی است. از مدلسازی مساحت زمین و پیشبینی سود شرکت تا مسیر حرکت گلولههای توپخانه.
با تشخیص تفاضل دوم ثابت، میتوانیم به سرعت پی به درجهدوم بودن رابطه ببریم.
همچنین با تحلیل ضریب
a
از باز یا بسته بودن سهمی و با
c
از نقطهٔ شروع ماجرا آگاه میشویم. تسلط بر این مفهوم، دریچهای به دنیای معادلات پیچیدهتر است.
<!-- ================ پاورقی (یک مورد) ================ -->
? پاورقی و معادلها
[1] ممیز — در انگلیسی Discriminant، مقدار $b^{2}-4ac$ که تعیینکنندهٔ تعداد و نوع ریشههای معادلهٔ درجهدوم است.
[2] چندجملهای — Polynomial، عبارتی متشکل از متغیرها و ضرایب که تنها از عملهای جمع، تفریق، ضرب و توان صحیح غیرمنفی استفاده میکند.
[3] سهمی — Parabola، نمودار هندسی یک تابع درجهدوم که به شکل U یا ∩ است.
<!-- ================ کلمات کلیدی (تراشه) ================ -->
[2] چندجملهای — Polynomial، عبارتی متشکل از متغیرها و ضرایب که تنها از عملهای جمع، تفریق، ضرب و توان صحیح غیرمنفی استفاده میکند.
[3] سهمی — Parabola، نمودار هندسی یک تابع درجهدوم که به شکل U یا ∩ است.
#چندجملهای_درجهدوم
#معادله_سهمی
#ضریب_چندجملهای
#دنباله_درجهدوم
#ریشه_یابی
