هیچکدام؛ عضو متمم اجتماع دو مجموعه نسبت به مرجع (عضو (A∪B)′)
جهانِ مرجع، مجموعه و آن «هیچکدام»
هر بحث مجموعهای با یک جهانِ مرجع شروع میشود. مثلاً فرض کن همهٔ دانشآموزان یک مدرسه، جهانِ مرجع ما هستند. حالا مجموعهٔ A = {بسکتبالیستها} و مجموعهٔ B = {شطرنجبازها}. عضو «هیچکدام» دانشآموزی است که نه بسکتبال بازی میکند و نه شطرنج. در ریاضی به این دانشآموز میگوییم عضو متمّم اجتماع دو مجموعه و نمایش میدهیم $(A\cup B)'$. این عضو در واقع بیرون از هر دو مجموعهٔ A و B قرار دارد.
بیایید با یک مثال عددی شیرینتر پیش برویم. جهانِ مرجع $U = \{1,2,3,4,5,6,7\}$ را در نظر بگیر. $A = \{1,2,3\}$ و $B = \{3,4,5\}$. اجتماع $A\cup B = \{1,2,3,4,5\}$ است. اعضایی که در $U$ هستند ولی در این اجتماع نیستند: $\{6,7\}$. پس $(A\cup B)' = \{6,7\}$.
کاربرد واقعی: جستجوی پیشرفته و «هیچکدام»
فرض کن در یک فروشگاه اینترنتی لباس، فیلترها را طوری تنظیم کردهای که نه رنگ قرمز داشته باشد و نه سایز کوچک. در پشت صحنه، فروشگاه از اصل $(A\cup B)'$ استفاده میکند. مجموعهٔ $A$ = {لباسهای قرمز}، $B$ = {لباسهای سایز کوچک}. اجتماع آنها همهٔ لباسهای قرمز یا کوچک است. متمّم این اجتماع یعنی لباسهایی که نه قرمزند و نه کوچک؛ یعنی دقیقاً همان «هیچکدام» از این دو ویژگی.
داستان کوتاه: سارا و نیما هر کدام یک کارت عضویت کتابخانه دارند. کتابخانه $200$ عضو دارد. سارا عضو گروه $A$ = {اعضای فعال در بخش کودک} است. نیما عضو گروه $B$ = {اعضای فعال در بخش نوجوان} است. کتابدار میخواهد بداند چه کسانی نه در بخش کودک فعّالاند و نه در بخش نوجوان. این افراد همان $(A\cup B)'$ هستند. مثلاً اعضای بزرگسال یا افرادی که فقط از بخش مرجع استفاده میکنند.
<!-- جدول ریسپانسیو (مقایسهی دو روش محاسبه) -->| روش محاسبه | گام اجرا برای $U=\{1,2,3,4,5,6,7\},\;A=\{1,2,3\},\;B=\{3,4,5\}$ | نتیجهی عضو هیچکدام |
|---|---|---|
| مستقیم (اجتماع بعد متمّم) |
$A\cup B = \{1,2,3,4,5\}$ سپس $(A\cup B)' = U - (A\cup B)$ |
$\{6,7\}$ ✓ صحیح |
| دمورگان (اشتراک متمّمها) |
$A' = \{4,5,6,7\}$ و $B' = \{1,2,6,7\}$ سپس $A' \cap B' = \{6,7\}$ |
$\{6,7\}$ ✓ صحیح |
ارتباط طلایی: قانون دمورگان[1]
احتمالاً شنیدهای که متمّم اجتماع برابر با اشتراک متمّمهاست. این یعنی: $(A\cup B)' = A' \cap B'$. اگر به زبان ساده بگوییم: کسی که عضو «هیچکدام» (اجتماع) نیست، هم از گروه A بیرون است و هم از گروه B؛ یعنی عضو هر دو متمّم است.
تمرین ذهنی: فرض کن $U$ = {اعداد ۱ تا ۱۰}، $A$ = {اعداد زوج}، $B$ = {مضارب ۳}. عضو هیچکدام ($(A\cup B)'$) کدام است؟ پاسخ: اعدادی که نه زوجاند و نه مضرب ۳: $\{1,5,7\}$. همینها میشوند $A' \cap B'$.
<!-- H3: اشتباهات رایج و پرسشهای مهم -->اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
❓ آیا عضو هیچکدام همیشه همان $U - (A\cup B)$ است؟
✅ بله. تعریف متمّم دقیقاً همین است. اگر جهان مرجع عوض شود، عضو هیچکدام هم عوض میشود. مثلاً اگر $U$ را کوچکتر کنیم، ممکن است دیگر $\{6,7\}$ در آن نباشد و عضو هیچکدام خالی شود.
❓ چرا بعضی دانشآموزان فکر میکنند $(A\cup B)' = A' \cup B'$؟
⚠️ این یک خطای مشهور است! اشتراک را با اجتماع اشتباه میگیرند. با یک مثال نقض ساده متوجه میشویم: اگر $U=\{1,2\}, A=\{1\}, B=\{2\}$ آنگاه $(A\cup B)' = \varnothing$ ولی $A' \cup B' = \{2\} \cup \{1\} = \{1,2\}$ که مساوی نیست.
❓ آیا سه مجموعه هم میتوانند عضو «هیچکدام» داشته باشند؟
? قطعاً. عضو هیچکدام برای سه مجموعه یعنی $(A\cup B\cup C)'$. این عضو هم با اشتراک متمّمها برابر است: $A' \cap B' \cap C'$. مثال: جهانی از میوهها، $A$=سیب، $B$=موز، $C$=پرتقال. عضو هیچکدام یعنی میوهای که نه سیب، نه موز و نه پرتقال است؛ مثل انار.
عضو متمّم اجتماع دو مجموعه ($(A\cup B)'$) همان عضو «هیچکدام» است. این عضو دقیقاً درون اشتراک متمّمهای $A$ و $B$ قرار دارد. با قانون دمورگان به راحتی میتوان آن را پیدا کرد. برای دانشآموزان دبیرستانی، درک این مفهوم پایهٔ حل مسائل مجموعهها، احتمال و منطق است.
پاورقی
[1]دمورگان (De Morgan): ریاضیدان بریتانیایی که قوانین مشهور در منطق و مجموعهها را کشف کرد. قانون $(A\cup B)' = A' \cap B'$ یکی از این قوانین است.
[2]متمّم (Complement): مجموعهای از تمام اعضای جهان مرجع که در مجموعهٔ اصلی A وجود ندارند.
[3]اجتماع (Union): مجموعهای از تمام اعضایی که حداقل در یکی از دو مجموعه A یا B عضو هستند.
[4]اشتراک (Intersection): مجموعهای از اعضایی که هم در A و هم در B عضو هستند.
