بازه : زیرمجموعهای از R که یک قطعه از محور اعداد حقیقی را مشخص میکند
⏺ بازه چیست؟ یک برش از خط اعداد
فرض کنید محور اعداد حقیقی (R) یک خط کش بینهایت است. روی این خط کش، همه اعداد از منفی بینهایت تا مثبت بینهایت قرار دارند. اما گاهی فقط بخش کوچکی از آن مد نظر ماست. مثلاً دمای مناسب یک اتاق بین 18 تا 22 درجه است. مجموعه این دماها را روی محور نشان میدهیم؛ به این قطعه از محور، «بازه» میگوییم.
برای نوشتن بازه از پرانتز و کروشه استفاده میکنیم. اگر عددی خودش جزو بازه باشد، کنارش کروشه میگذاریم [ ] و اگر جزو بازه نباشد، پرانتز میگذاریم ( ).
| نام بازه | نماد ریاضی | توضیح با کلمات | مثال عددی |
|---|---|---|---|
| بازه بسته | [a,b] | هم a و هم b جزو بازه هستند. | [2,5] یعنی اعداد ۲، ۳، ۴، ۵ |
| بازه باز | (a,b) | خود a و b جزو بازه نیستند. | (2,5) یعنی ۳ و ۴ (۲ و ۵ نه) |
| بازه نیمهباز | [a,b) یا (a,b] | یک سر آن بسته، سر دیگر باز است. | [2,5) یعنی ۲، ۳، ۴ (۵ نه) |
⏺ بازه روی خط اعداد؛ رسم کنید، اشتباه نکنید
برای رسم بازه، روی محور عدد نقطهها را مشخص میکنیم. سر بسته را ● (توپر) و سر باز را ○ (توخالی) نشان میدهیم. به این ترتیب، تفاوت (2,5] با [2,5] در رسم مشخص است.
گاهی بازه تا بینهایت ادامه دارد. بینهایت را همیشه با پرانتز مینویسیم چون بینهایت یک عدد نیست و نمیتواند عضو بازه باشد.
مثال: $[0, +\infty)$ یعنی همه اعداد از صفر تا بینهایت (خود صفر هست). یا $(-\infty, 5)$ یعنی همه اعداد کوچکتر از ۵.
| نوع بازه | نماد ریاضی | معنی به زبان ساده | یک مثال روزمره |
|---|---|---|---|
| نیمهراست بسته | [a, +∞) | همه اعداد از a به بعد، خود a هم هست | قد مجاز برای وسایل برقی: [80,∞) سانتیمتر |
| نیمهراست باز | (a, +∞) | بزرگتر از a ، ولی خود a نه | سن مجاز برای رانندگی: (18,∞) |
⏺ جبر بازهها؛ مثل تکههای پازل
دو بازه را میتوان با هم اجتماع (⋃) یا اشتراک (⋂) گرفت. اجتماع یعنی هر عددی که در یکی از دو بازه باشد. اشتراک یعنی اعدادی که همزمان در هر دو بازه باشند. برای پیدا کردن سریع اشتراک، کافی است «بزرگتر از کران پایینتر» و «کوچکتر از کران بالای مشترک» را پیدا کنید.
| بازه اول | بازه دوم | اشتراک (⋂) | اجتماع (⋃) | توضیح |
|---|---|---|---|---|
| $[2,5]$ | $[4,7]$ | $[4,5]$ | $[2,7]$ | بازهها همپوشانی دارند |
| $[1,3)$ | $(3,5]$ | $\varnothing$ | $[1,3) \cup (3,5]$ | عدد ۳ هیچکجا نیست |
| $(-\infty, 4]$ | $[2,10]$ | $[2,4]$ | $(-\infty,10]$ | تداخل در 2-4 |
⏺ از یخچال تا موشک؛ کاربرد واقعی بازهها
• پزشکی: ضربان قلب طبیعی بزرگسالان در حالت استراحت بازه $[60,100]$ بار در دقیقه است. اگر ضربان کمتر از 60 (برادیکاردی) باشد، در بازه $[0,60)$ قرار میگیرد.
• فروشگاه آنلاین: ارسال رایگان برای خریدهای بالای 500 هزار تومان. یعنی بازه $(500, +\infty)$. خود 500 معمولاً شامل تخفیف نمیشود (پرانتز).
• فیزیک (حرکت): فاصله برخورد دو توپ از زمان t=2s تا t=4s. این بازه زمانی $[2,4]$ را بازه زمانی برخورد مینامیم.
⏺ اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
بله. در بازههای معمولی کران پایین ≤ کران بالا است. بازه $[5,3]$ معنی ندارد مگر اینکه اشتباه تایپی باشد. در ریاضی به آن «بازه تهی» میگوییم.
$[5,5]$ یک بازه است که فقط عدد ۵ را شامل میشود. $\{5\}$ یک مجموعه تکعضوی است. در عمل هر دو فقط ۵ را نشان میدهند ولی بازه معمولاً برای بازههای با طول بزرگتر استفاده میشود.
چون بینهایت یک عدد مشخص نیست و نمیشود گفت «عضو» مجموعه است. پس همیشه کنارش پرانتز میگذاریم. مثل $(-\infty, 10]$.
- بازه یک برش از محور اعداد است که با کروشه [ ] و پرانتز ( ) مشخص میشود.
- بازه بسته دو سر بسته، باز دو سر باز، نیمهباز یک سر بسته یک سر باز.
- اجتماع (∪) یعنی همه اعضای هر دو بازه؛ اشتراک (∩) یعنی اعضای مشترک.
- بازههای نامتناهی با علامت $+\infty$ و $-\infty$ نوشته میشوند و کنار بینهایت حتماً پرانتز است.
- از دمای اتاق تا پرتاب موشک، همه جا با بازه سر و کار داریم.
? پاورقی؛ معادلهای انگلیسی
[1] بازه (Interval) – به مجموعهای از اعداد حقیقی بین دو نقطه گفته میشود.
[2] بازه بسته (Closed Interval) – شامل هر دو کران.
[3] بازه باز (Open Interval) – شامل هیچیک از کرانها.
[4] بازه نیمهباز (Half‑open / Half‑closed Interval) – فقط یک کران عضو بازه است.
[5] اجتماع (Union) – نماد ⋃.
[6] اشتراک (Intersection) – نماد ⋂.
[7] مجموعه تهی (Empty set) – نماد ∅.
