عدد گنگ: عددی که نتوان آن را به صورت نسبت دو عدد صحیح نمایش داد
راز مثلث فیثاغورث
بیش از 2500 سال پیش، فیثاغورث و شاگردانش بر این باور بودند که «همه چیز عدد است» و هر عددی را میتوان به صورت نسبت دو عدد صحیح نوشت. اما یک روز، شاگردی به نام هیپاسوس متوجه شد وتر یک مثلث قائمالزاویه با ضلعهای 1 و 1، طولی برابر $\sqrt{2}$ دارد. او تلاش کرد این عدد را به صورت کسر نشان دهد اما هر بار شکست خورد. طبق افسانهها، فیثاغورثیها که از این کشف خشمگین شده بودند، هیپاسوس را به دریا انداختند؛ زیرا او وجود عددی را فاش کرده بود که قانون «نسبتپذیری» آنها را نقض میکرد. این آغاز رسمی سفر اعداد گنگ در تاریخ ریاضیات بود.
گنگهای معروف؛ از جذر ۲ تا عدد پی
برخی از اعداد گنگ آنقدر در زندگی ما حضور دارند که آنها را به نام میشناسیم. عدد $\pi$ (نسبت محیط دایره به قطر) و عدد $e$ (پایه لگاریتم طبیعی) مشهورترین آنها هستند. اما آیا میدانستید نسبت طلایی $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ نیز یک عدد گنگ است؟ این اعداد را نمیتوان به صورت کسری از دو عدد صحیح نوشت، حتی اگر از بزرگترین مخرجها استفاده کنیم.
| نام عدد گنگ | نماد | تقریب اعشاری (۵ رقم) | کاربرد ساده |
|---|---|---|---|
| ریشه دوم ۲ | $\sqrt{2}$ | 1.41421 | قطر مربع |
| عدد پی | $\pi$ | 3.14159 | محیط و مساحت دایره |
| عدد نپر | $e$ | 2.71828 | رشد جمعیت، بهره مرکب |
| نسبت طلایی | $\phi$ | 1.61803 | هنر، معماری، طبیعت |
چرا اعداد گنگ مهم هستند؟
تصور کنید یک مهندس عمران میخواهد ستونی با مقطع مربع طراحی کند که قطر آن دقیقاً 2 متر باشد. او برای محاسبه طول ضلع از $\sqrt{2}$ استفاده میکند. در ساختوساز واقعی، نمیتوان با اعشار بینهایت کار کرد؛ بنابراین با تقریب (مثلاً 1.414) کار میکنند، اما ماهیت مسئله یک عدد گنگ است.
یا در طراحی یک چرخدنده، محاسبه دندانهها نیاز به عدد پی دارد. اگر $\pi$ را به صورت کسر 22/7 در نظر بگیریم، برای کارهای معمولی خوب است ولی در طراحی فضاپیما همین خطای کوچک، فاجعه میآفریند. ناسا برای محاسبه مسیر فضاپیماها از 15 رقم اعشار $\pi$ استفاده میکند.
اشتباهات رایج
⚠️ سوال ۱ آیا عدد $\frac{22}{7}$ همان عدد پی است؟
خیر! $\frac{22}{7}$ فقط یک تقریب خوب از عدد پی است، اما خودش گویا[3] است (چون به صورت کسر دو عدد صحیح نوشته شده). مقدار واقعی $\pi$ یک عدد گنگ و با ارقام نامتناهی غیرمتناوب است.
⚠️ سوال ۲ آیا جذر تمام اعداد طبیعی، گنگ است؟
نه. جذر اعدادی که مربع کامل هستند (مثل 4,9,16) گویا و صحیح است. اما جذر بقیه اعداد طبیعی (مثل 2,3,5,6,...) گنگ است.
⚠️ سوال ۳ آیا جمع دو عدد گنگ همیشه گنگ است؟
نه همیشه. مثال: $(2+\sqrt{2}) + (2-\sqrt{2}) = 4$ که عددی گویاست. همچنین ضرب دو عدد گنگ هم ممکن است گویا شود ($\sqrt{2} \times \sqrt{8} = 4$).
اثبات: چرا $\sqrt{2}$ گنگ است؟
فرض کنیم $\sqrt{2}$ گویا باشد؛ یعنی $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ که در آن a و b اعداد صحیح و کسر تا حد امکان ساده شده است. دو طرف را به توان ۲ میرسانیم: $2 = \frac{a^2}{b^2}$ یا $a^2 = 2b^2$. این یعنی a^2 زوج است، پس a نیز زوج است. a=2k را جایگزین میکنیم: $(2k)^2 = 2b^2$ → $4k^2 = 2b^2$ → $b^2 = 2k^2$. پس b^2 و در نتیجه b زوج است. اگر a و b هر دو زوج باشند، کسر a/b سادهشده نیست و این با فرض اولیه تناقض دارد. پس $\sqrt{2}$ نمیتواند گویا باشد؛ بنابراین گنگ است.
تفاوت اعشار گنگ و گویا
| ویژگی | عدد گویا (گویا) | عدد گنگ |
|---|---|---|
| نمایش کسری | a/b دارد | غیرممکن |
| اعشار | متناهی یا متناوب | نامتناهی و غیرمتناوب |
| مثال ساده | 0.3333… , 0.5 | $\sqrt{3}$ , $\pi$ |
پاورقی
[1] عدد گنگ (Irrational number): به عددی حقیقی گفته میشود که نتوان آن را به صورت نسبت دو عدد صحیح نمایش داد.
[2] عدد نپر (Napier's constant): عدد $e \approx 2.71828$ پایه لگاریتم طبیعی.
[3] عدد گویا (Rational number): عددی که بتوان آن را به شکل کسر a/b با a و b صحیح و b≠0 نوشت.