مجموعه اعداد حسابی (W): از صفر تا بینهایت
? اعداد حسابی چه اعدادی هستند؟
به مجموعه {0,1,2,3,4,...} در ریاضی «اعداد حسابی» میگوییم. این اعداد را با حرف بزرگ W نشان میدهند که از کلمهی انگلیسی Whole[1] گرفته شده است. به زبان ساده، اعداد حسابی همان اعدادی هستند که برای شمارش اشیاء کامل (غیرمنفی) به کار میروند و صفر هم جزو آنهاست.
<!-- باکس نکته دوستانه برای کودکان -->| نام مجموعه | نماد | اعضا | صفر دارد؟ |
|---|---|---|---|
| طبیعی | N | {1,2,3,...} | ❌ خیر |
| حسابی | W | {0,1,2,3,...} | ✅ بله |
➕➖ چهار عمل اصلی روی اعداد حسابی
جمع و ضرب همیشه دو عدد حسابی را به یک عدد حسابی دیگر تبدیل میکند. اما تفریق و تقسیم ممکن است نتیجهای خارج از این مجموعه بدهد. برای درک بهتر جدول زیر را ببینید:
| عمل | مثال | نتیجه | در W باقی میماند؟ |
|---|---|---|---|
| جمع | 2+3=5 | 5 | بلی |
| ضرب | 4×0=0 | 0 | بلی |
| تفریق | 3-5=2 | 2 | بلی |
| تفریق | 2-5=3- | -3 | خیر |
| تقسیم | 6÷2=3 | 3 | بلی |
| تقسیم | 2÷5=2.5 | 2.5 | خیر |
? ویژگیهای جبری مجموعه اعداد حسابی
مجموعه W تحت عمل جمع و ضرب یک «نیمگروه جابهجاییپذیر» است. همچنین دارای عضو همانی (صفر برای جمع و یک برای ضرب) میباشد. در زیر مهمترین ویژگیها را به زبان فرمول میبینیم:
<!-- فرمولهای MathJax هر کدام در span LTR -->$a \times b = b \times a$
$a + 0 = a$
$a \times 1 = a$
$a \times 0 = 0$
اما توجه کنید که برای هر عدد حسابی a به جز صفر، عمل عکس (معکوس جمعی) در W وجود ندارد. به همین دلیل W یک میدان نیست.
<!-- ========== بخش 4: کاربرد عینی و مثال عملی ========= -->? کاربرد اعداد حسابی در زندگی: از دمای هوا تا تراز بانکی
فرض کن دمای یک شهر در زمستان 3- درجه سانتیگراد باشد. این عدد دیگر حسابی نیست چون منفی است! اما اگر دما 0 درجه باشد، یک عدد حسابی داریم. مثال دیگر: حساب بانکی. وقتی در بانک 200 هزار تومان پول داریم (حسابی) ولی اگر 100 هزار تومان برداشت کنیم و موجودی 100+ باشد باز هم حسابی است. اما اگر بیشتر برداشت کنیم و منفی شویم، از مجموعه W خارج میشویم.
❓ اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
<!-- سوال 1 -->✅ چرا هست. بعضی دانشآموزان فکر میکنند عدد حسابی حتماً باید مثبت باشد، اما طبق تعریف مجموعه W شامل صفر هم میشود. کافی است به مجموعه {0,1,2,3,...} نگاه کنیم.
✅ بله. اعداد طبیعی معمولاً از یک شروع میشوند (N={1,2,3,...}) ولی اعداد حسابی صفر را هم شامل میشوند. بعضی کتابها اعداد طبیعی را با صفر تعریف میکنند، ولی استاندارد جهانی برای W همواره صفر را در بر دارد.
✅ خیر. فقط زمانی که مقسومعلیه بهطور کامل بر مقسوم بخشپذیر باشد و خارجقسمت صحیح غیرمنفی شود، مثلاً 8÷4=2 اما 3÷2=1.5 که حسابی نیست.
? پاورقی
[1]Whole numbers : اعداد کامل یا حسابی در انگلیسی. این واژه برای تأکید بر «تمام بودن» و شامل شدن صفر به کار میرود.
[2] نماد W از حرف اول Whole گرفته شده است.
[3] نیمگروه جابهجاییپذیر: مجموعهای با یک عمل دوتایی که شرکتپذیر و جابهجاییپذیر است.
