می‌دانيم تابع $\left[ x \right]$ (جزء صحيح) در نقاطی با طول صحيح ناپيوسته و در نقاطی با طول غيرصحيح پيوسته است. لذا با توجه به بازهٔ مطرح شده، كافيست شرط پيوستگی را برای تابع $\left[ {{x}^{2}} \right]$  در نقاطی که ${{x}^{2}}$ صحيح می‌شود بررسی كنيم: 

$x=0\Rightarrow {{x}^{2}}=0$

تابع در اين نقطه، پيوسته است.

$\Rightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0)=0$

$x=1\Rightarrow {{x}^{2}}=1\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{{{x}^{2}}\to {{1}^{+}}} {\mathop{\lim }}\,\left[ {{x}^{2}} \right]=1=f(1)  \\ \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{{{x}^{2}}\to {{1}^{-}}} {\mathop{\lim }}\,\left[ {{x}^{2}} \right]=0  \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftarrow $ تابع در این نقطه، ناپیوسته است.

$x=\sqrt{2}\Rightarrow {{x}^{2}}=2\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \underset{x\to {{(\sqrt{2})}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{{{x}^{2}}\to {{2}^ {+}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ {{x}^{2}} \right]=2=f(2)  \\ \underset{x\to {{(\sqrt{2})}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{{{x}^{2}}\to {{2}^ {-}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ {{x}^{2}} \right]=1  \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftarrow $ تابع در این نقطه، ناپیوسته است.

روشن است كه به ازای مقادير $k\gt \sqrt{2}$، تعداد نقاط ناپيوستگی بيش از يكی خواهد بود. پس بيش‌ترين مقدار $k$ برابر $\sqrt{2}$ است.