$ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{200} \cdot 10 = 5\sqrt{200} $

$ \frac{5}{2} $

$ \left( \frac{5}{2} \right)^2 = \frac{25}{4} $

$ \frac{25}{4} \cdot 5\sqrt{200} = \frac{125}{4} \cdot \sqrt{200} $

$ \sqrt{ \left( \frac{\sqrt{200}}{2} \right)^2 + 5^2 } = \sqrt{50 + 25} = \sqrt{75} $

$ \frac{5}{2} \cdot \sqrt{75} $

$ 4 \cdot \frac{5}{2} \cdot \sqrt{75} = 10 \cdot \sqrt{75} $

$ \frac{ \frac{125}{4} \cdot \sqrt{200} }{ 10 \cdot \sqrt{75} } = \frac{125 \cdot \sqrt{200}}{40 \cdot \sqrt{75}} = \frac{25}{8} \cdot \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{75}} $

$ \frac{25}{8} \cdot \sqrt{ \frac{200}{75} } = \frac{25}{8} \cdot \sqrt{ \frac{8}{3} } = \frac{25}{8} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{50\sqrt{6}}{24} = \frac{25\sqrt{6}}{12} $

$ \boxed{ \frac{25\sqrt{6}}{12} } $