نکته‌(قضیه‌ی سینوس‌ها): در مثلث دلخواه ABC داریم:

$\frac{a}{\operatorname{Sin}\hat{A}}=\frac{b}{\operatorname{Sin}\hat{B}}=\frac{c}{\operatorname{Sin}\hat{C}}$

با توجه به نکته، داریم:

$\frac{BC}{\operatorname{Sin}\hat{A}}=\frac{AB}{\operatorname{Sin}\hat{C}}\Rightarrow \frac{BC}{AB}=\frac{\operatorname{Sin}\hat{A}}{\operatorname{Sin}\hat{C}}\,\,\,\,\,\,(1)$

و طبق فرض نیز، داریم:

$\frac{BC}{\operatorname{Cos}\hat{A}}=\frac{AB}{\operatorname{Cos}\hat{C}}\Rightarrow \frac{BC}{AB}=\frac{\operatorname{Cos}\hat{A}}{\operatorname{Cos}\hat{C}}\,\,\,\,\,\,\,(2)$

از (1) و (2) نتیجه می‌گیریم:

$\frac{\operatorname{Sin}\hat{A}}{\operatorname{Sin}\hat{C}}=\frac{\operatorname{Cos}\hat{A}}{\operatorname{Cos}\hat{A}}=\frac{\operatorname{Sin}\hat{C}}{\operatorname{Cos}\hat{C}}\Rightarrow \tan \hat{A}=\tan \hat{C}\Rightarrow A=C\,\,\,\,\,\,\,(*)$

از طرفی می‌دانیم:

$\hat{B}={{120}^{{}^\circ }}\Rightarrow \hat{A}+\hat{C}={{60}^{{}^\circ }}\xrightarrow{(*)}\hat{A}=\hat{C}={{30}^{{}^\circ }}$

و با توجه به فرض، داریم:

$\frac{BC}{\operatorname{Cos}{{30}^{{}^\circ }}}=\frac{AB}{\operatorname{Cos}{{30}^{{}^\circ }}}=2\Rightarrow BC=AB=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

از طرفی با توجه به شکل، داریم:

$\begin{align}
  & AH=CH=\sqrt{2}\operatorname{Cos}{{30}^{{}^\circ }}=\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2} \\ 
 & \Rightarrow AC=AH+CH=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3 \\ 
\end{align}$
و در نهایت، محیط مثلث ABC، برابر است با:

$AB+BC+AC=\sqrt{3}+\sqrt{3}+3=2\sqrt{3}+3$

بنابراین گزینه‌ی 3 پاسخ است.