برای تشکیل یک مثلث به ۳ رأس نیاز داریم که با توجه به شکل داده شده لازم است دو رأس (نقطه) را از روی یک خط و رأس (نقطه‌ی) سوم را از روی خط دیگر انتخاب کنیم. برای این انتخاب دو حالت می‌توان در نظر گرفت:

الف) ۲ نقطه را از خط $d_{1}$ و نقطه‌ی سوم را از خط $d_{2}$ انتخاب کنیم.

ب) ۲ نقطه را از خط $d_{2}$ و نقطه‌ی سوم را از خط $d_{1}$ انتخاب کنیم.

بنابراین تعداد حالات برابر است با:

$\left( \begin{matrix}   4  \\   2  \\\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   3  \\   1  \\\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}   4  \\   1  \\\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}   3  \\   2  \\\end{matrix} \right)=\frac{4!}{2!\times 2!}\times \frac{3!}{2!\times 1!}+\frac{4!}{3!\times 1!}\times \frac{3!}{2!\times 1!}=6\times 3+4\times 3=30$ 

راه حل دوم (روش متمم):

باید تعداد حالاتی را که سه نقطه‌ی انتخابی تشکیل مثلث نمی‌دهند، از تعداد کل حالات کم کنیم:

$\left( \begin{matrix}
   7  \\
   3  \\
\end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix}
   4  \\
   3  \\
\end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix}
   3  \\
   3  \\
\end{matrix} \right)=35-4-1=30$