اکنون با هر تساوی توانی یک تساوی رادیکالی بنویسید. همچنین نظیر هر تساوی رادیکالی یک تساوی توانی بنویسید؛ مانند نمونه‌ها

${{(-3)}^{3}}=-27\Leftrightarrow \sqrt[3]{-27}=-3$

${{(-5)}^{3}}=-125\Leftrightarrow \sqrt[3]{-125}=-5$ 

${{2}^{4}}=16\Leftrightarrow \sqrt[4]{16}=2$ 

${{11}^{2}}=121\Leftrightarrow \sqrt{121}=11$ 

${{(0/25)}^{2}}=0/0625\Leftrightarrow \sqrt{0/0625}=0/25$ 

${{(0/5)}^{2}}=0/25\Leftrightarrow \sqrt{0/25}=0/5$ 

$\sqrt{81}=9\Leftrightarrow {{9}^{2}}=81$ 

$\sqrt{50}=5\sqrt{2}\Leftrightarrow {{(5\sqrt{2})}^{2}}=50$ 

$\sqrt[3]{-8}=-2\Leftrightarrow {{(-2)}^{3}}=-8$ 

$\sqrt{100}=10\Leftrightarrow {{10}^{2}}=100$ 

 $\sqrt{48}=4\sqrt{3}\Leftrightarrow {{(4\sqrt{3})}^{2}}=48$ 

$\sqrt{45}=3\sqrt{5}\Leftrightarrow {{(3\sqrt{5})}^{2}}=45$ 

1- حجم مخزن آبی که به شکل مکعب است، برابر 25 متر مکعب است. طول ضلع این مکعب را حدس بزنید و حدس خود را آزمایش کنید. می‌دانیم هرگاه طول ضلع مکعب $a$ متر باشد، حجم آن برابر ${{a}^{3}}$ متر مکعب است. ابتدا جدول را کامل کنید.

دو دانش آموز طول ضلع مکعب را به روش‌های روبه رو به دست آورده‌اند: روش‌های این دو دانش آموز را توضیح دهید.
احمد ابتدا با محاسبه ${{2}^{3}}=8,{{3}^{3}}=27$ و اینکه $a<\sqrt[3]{25}<\sqrt[3]{27}$ نتیجه گرفته است که $2<\sqrt[3]{25}$ و 2/8 را حدس زده و امتحان کرده است. محسن نیز با توجه به اینکه ${{3}^{3}}=27$ و $25<27$ حدس زد که $\sqrt[3]{25}<3$ و چون 25 به 27 نزدیک‌تر است تا 8 عدد 28 را حدس زده و امتحان کرده است.
دبیر: طول ضلع مکعبی عددی بین ٢ و ٣ است. تعداد ارقام اعشاری این عدد بی شمار و دارای دوره تناوب نیست. تقریب این عدد تا یک رقم اعشار برابر با 2/9 و تا دو رقم اعشار برابر 2/92 می‌باشد. چنانچه بخواهیم این عدد را به طور دقیق نمایش دهیم از $\sqrt[3]{25}$ استفاده می‌کنیم که همان ریشهٔ سوم ٢٥ است.

$\sqrt[3]{25}\simeq 2/9$

احمد: مقدار دقیق $\sqrt[3]{25}$ چقدر است؟
دبیر: $\sqrt[3]{25}$ یک عدد حقیقی گنگ است. با ماشین حساب، می‌توانید تقریب دقیق‌تری از آن به دست آورید، اما هیچ گاه مقدار دقیق آن به صورت اعشاری قابل نمایش نیست و برای نمایش آن از نماد $\sqrt[3]{25}$ استفاده می‌کنیم.
اگر قدرت ماشین حساب شما بیشتر باشد، تعداد ارقام اعشاری بیشتری به دست می‌دهد و عدد دقیق‌تری برای ریشهٔ سوم 25 حاصل می‌شود.

ریشهٔ عددها را می‌توانیم به طور تقریبی روی محور اعداد نشان دهیم.

2- مانند نمونه با استدلال مشخص کنید که هر ریشه بین کدام دو عدد صحیح متوالی است:
الف) چون $25<30<36$ پس $5<\sqrt{30}<6$. همچنین چون $1<5<8$ پس $1<\sqrt{5}<2$.
ب) چون $4<7<9$ پس $\sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}$ پس $2<\sqrt{7}<3$
پ) چون $9<10<16$ پس $\sqrt{9}<\sqrt{10}<\sqrt{16}$ پس $3<\sqrt{10}<4$
ت) چون $-27<-17<-8$ پس $\sqrt[3]{-27}<\sqrt[3]{-17}<\sqrt[3]{-8}$ پس $-3<\sqrt[3]{-17}<-2$
٣- مقدار تقریبی یا دقیق ریشه‌ها را محاسبه کنید و مانند نمونه روی محور اعداد، نشان دهید (می‌توانید از ماشین حساب استفاده کنید).

$\sqrt[3]{1}=1$

$\sqrt[3]{3}\simeq 1/4$

$\sqrt[3]{4}\simeq 1/58$

$\sqrt[3]{125}=5$

$\sqrt[3]{-8}=-2$

4- زیر رادیکال (جای خالی) عدد یا عددهایی بگذارید که نامساوی‌ها برقرار باشند.
الف) $4<\sqrt{22}<5$  (هر عددی بین 16 و 25)                     ب) $9<\sqrt[3]{856}<10$ (هر عددی بین 729 و 1000)
5- سه مکعب تو در تو مانند شکل مقابل واقع شده‌اند. حجم مکعب بیرونی (بزرگ) برابر 64 و حجم مکعب داخلی (کوچک) 27 است. طول ضلع مکعب میانی چه عددهایی می‌تواند باشد؟ (حداقل سه پاسخ متفاوت ارائه کنید.)

مکعب میانی حجمی کمتر از 64 و بیشتر از 27 دارد. پس اگر طول ضلع مربع میانی را برابر a در نظر بگیریم داریم؛

$\sqrt[3]{27} \lt a \lt \sqrt[3]{64}\to 3 \lt a \lt 4$

پس طول ضلع مکعب میانی عددی حقیقی بین 3 و 4 است.

1- مانند ریشه‌های دوم و سوم می‌توان ریشهٔ چهارم را تعریف کرد. با هرتساویِ توانی یک تساوی رادیکالی داریم:

آیا 16- ریشهٔ چهارم دارد؟ آیا عددی منفی یا مثبت وجود دارد که وقتی به توان 4 برسد، برابر 16- شود؟
خیر، 16- ریشه‌ی چهارم ندارد؛ زیرا هر عددی (چه مثبت یا منفی) که 4 بار در خودش ضرب شود (به توان 4 برسد) علامتش حتماً مثبت خواهد بود.
اکنون عبارت را کامل کنید..
هر عدد مثبت دارای دو ریشهٔ چهارم است که قرینه‌ی یکدیگرند. عددهای منفی ریشهٔ چهارم ندارند.

1- جاهای خالی را در جدول تکمیل کنید. آخرین ستون را به دلخواه کامل کنید.

2- جاهای خالی را در جدول تکمیل کنید.

3- ریشهٔ پنجم چه عددهایی با خودشان برابر است؟
صفر، 1 و 1-
4- محاسبه کنید.

$\sqrt[5]{\frac{1}{100000}}=\frac{1}{10}$

$\sqrt[5]{-0/00032}=-0/2$

$\sqrt[5]{\frac{1}{32}=\frac{1}{2}}=0/5$

5- عبارت را کامل کنید.
هر عدد مثبت یا منفی دارای یک ریشهٔ پنجم است. اگر عدد مثبت باشد، ریشهٔ پنجم آن مثبت و اگر عدد منفی باشد ریشهٔ پنجم آن منفی است.

1- برای هر عدد رادیکالی زیر، اگر حاصل آن یک عدد صحیح است، جواب را بنویسید و در غیر این صورت دو عدد صحیح متوالی بنویسید که عدد رادیکالی مورد نظر بین آنها باشد.

$\sqrt{16}=4$

$\sqrt{20}$ 

$\sqrt[4]{400}$ 

$\sqrt{75}$

$\sqrt[3]{-8}=-2$

$\sqrt[5]{400}$

$\sqrt[3]{-90}$

$\sqrt[3]{-90}$

$\sqrt[3]{250}$

$\sqrt[5]{1}$

$-\sqrt[4]{20}$

2- مقدار تقریبی هر کدام از اعداد رادیکالی زیر را با یک رقم اعشار مشخص کنید (می‌توانید از ماشین حساب استفاده کنید).

$\sqrt{10}\simeq 3/2$

$\sqrt[3]{7/25}\simeq 1/9$

$\sqrt[5]{16}\simeq 1/7$

$\sqrt[5]{64}\simeq 2/3$

3- مانند نمونه در شکل زیر، هر یک از نقاط مشخص شده روی محور بالا را به یکی از نقاط مشخص شده روی محور پایین که متناظر با ریشهٔ سوم آن عدد است، وصل کنید (یک مثال عددی از هر مورد ارائه کنید.).

4- با توجه به آنچه دربارهٔ ریشهٔ سوم اعداد درک کرده‌اید، به سؤال‌های زیر پاسخ دهید.
الف) $a$ عددی مثبت است و $\sqrt[3]{a}>a$ ،$a$ چه عددی می‌تواند باشد؟
عددی بین صفر و یک
ب) $a$ عددی است که ریشهٔ سوم آن با خودش برابر است؛ یعنی $\sqrt[3]{a}=a$. $a$ چه اعدادی می‌تواند باشد؟
1 و 1- و صفر
پ) $a$ عددی مثبت است و $\sqrt[3]{a} \lt a$ اعداد بزرگ‌تر از یک
ت) به موارد (الف) و (پ) برای حالتی که $a$ عددی منفی باشد، نیز پاسخ دهید.
اگر a منفی باشد و کمتر از 1- باشد $\sqrt[3]{a}>a$ 
اگر a منفی باشد و عددی بین 0 و 1- باشد $\sqrt[3]{a} \lt a$
5- در هر یک از شکل‌های زیر، نقطه‌ای از محور بالا به ریشه‌های سوم، چهارم و پنجم خود وصل شده است. مشخص کنید هر رنگ مربوط به کدام ریشه است.
(الف) ریشه سوم= آبی    ریشه پنجم= قرمز     ریشه‌های چهارم= سبز

(ب) ریشه‌های چهارم= آبی    ریشه پنجم= قرمز    ریشه سوم= سبز

(پ) ریشه سوم= آبی    ریشه پنجم= قرمز

(ت) ریشه‌سوم= سبز کم‌رنگ    ریشه پنجم= سبز پررنگ

6 جاهای خالی را پر کنید.
الف) اعداد 3 و 3- ریشه‌های چهارم عدد 81 می‌باشند.
ب) اگر $\sqrt[4]{16}=a$ باشد، در این صورت حاصل عبارت ${{a}^{3}}+5$ برابر است با ………. .
چون $\sqrt[4]{16}=2$ پس a=2 بنابراین ${{2}^{3}}+5=13$
7- در جاهای خالی یکی از علامت‌های $«>»$ ، $«<»$ یا $«=»$ را قرار دهید.

${{(-0/1)}^{5}}>{{(-0/1)}^{3}}$

${{(0/1)}^{5}}<{{(0/1)}^{3}}$

${{(-2)}^{5}}<{{(-2)}^{4}}$

$\sqrt[5]{0/00001}=0/1$