ابتدا جواب نامعادله‌ی $2x-1 \lt \frac{x+1}{2} \lt 2x$ را به دست می‌آوریم:

$2x-1 \lt \frac{x+1}{2} \lt 2x\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
   \frac{x+1}{2} \lt 2x\,\Rightarrow x+1 \lt 4x\,\Rightarrow x \gt \frac{1}{3}  \\
   2x-1 \lt \frac{x+1}{2}\Rightarrow 4x-2 \lt x+1\,\Rightarrow x\lt 1  \\
\end{matrix} \right.\,\Rightarrow \frac{1}{3} \lt x \lt1$

راه حل اول:

به کمک $\frac {1}{3} \lt x \lt 1$ نامعادله‌ی دوم را می‌سازیم:

$\frac{1}{3} \lt x \lt 1\,\xrightarrow{\times (-3)}-3 \lt -3x \lt -1\,\xrightarrow{+2}-\frac{1}{2} \lt 2-3x \lt 1\,\xrightarrow{\div 2}-\frac{1}{2} \lt \frac{2-3x}{2} \lt \frac{1}{2}$ 

از مقایسه‌ی نامعادله‌ی بالا با $a \lt \frac {2-3x}{2} \lt b$ می‌توان نتیجه گرفت $a=- \frac {1}{2}$ و $b= \frac {1}{2}$ بنابراین $a+b=-\frac {1}{2}+ \frac {1}{2}=0$

راه حل دوم:

نامعادله‌ی دوم را هم حل می‌کنیم:

$a\,\lt \frac{2-3x}{2} \lt b\,\Rightarrow \,2a \lt 2-3x \lt 2b\,\Rightarrow 2a-2 \lt -3x \lt 2b-2\,\Rightarrow \frac{2b-2}{-3} \lt x \lt \frac{2a-2}{-3}$

چون مجموعه جواب هر دو نامعادله یکسان است، پس:

$\frac{2b-2}{-3}=\frac{1}{3}\,\Rightarrow 2b-2=-1\,\Rightarrow \,2b=1\,\Rightarrow b=\frac{1}{2}$

$\frac{2a-2}{-3}=1\,\Rightarrow 2a-2=-3\Rightarrow 2a=-1\,\Rightarrow a=-\frac{1}{2}$

بنابراین $a+b=-\frac {1}{2}+ \frac {1}{2}=0$