نكته: اگر تابع $f$ در $x=a$ مشتق‌پذير باشد، آنگاه $f$ در $a$ پيوسته است. 

نکته: مشتق راست و مشتق چپ تابع $a$ در $x=a$ را با ${{{f}'}_{+}}(a)$ و ${{{f}'}_{-}}(a)$ نمايش می‌دهيم و آن را به‌صورت زير تعريف می‌كنيم:

${{{f}'}_{+}}(a)=\underset{h\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

${{{f}'}_{-}}(a)=\underset{h\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

با توجه به نكته، ابتدا شرط پيوستگی را بررسی می‌كنيم:

$\left\{ \begin{matrix} \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{a}{x+1}=\frac{a}{2}  \\ \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{1}}}{\mathop{\lim }}\,(b\sqrt{x}+2)=b+2  \\ f(1)=\frac{a}{2}  \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \frac{a}{2}=b+2\Rightarrow a=2b+4(1)$

حال شرط مشتق‌پذير بودن را بررسی می‌كنيم:

$\left\{ \begin{matrix} {{{{f}'}}_{+}}(x)=\frac{-a}{{{(x+1)}^{2}}}\Rightarrow {{{{f}'}}_{+}}(1)=\frac{-a}{4}  \\ {{{{f}'}}_{-}}(x)=\frac{b}{2\sqrt{x}}\Rightarrow {{{{f}'}}_{-}}(1)=\frac{b}{2}  \\ \end{matrix} \right.$

از (1) و (2) می‌توان نتيجه گرفت:

$2b+4=-2b\Rightarrow 4b=-4\Rightarrow b=-1\Rightarrow a=2$

بنابراین: $a-b=2+1=3$