الف) می‌دانیم تابع سود برابر است با تفاضل تابع درآمد و تابع هزینه. بنابراین تابع سود کارخانه A به دست می‌آید:

$\eqalign{
  & {R_A}(x) = 15x - 3{x^2}  \cr 
  & {C_A}(x) = 8x + 6  \cr 
  & {P_A}(x) = {R_A}(x) - {C_A}(x) \to {P_A}(x) = 15x - 3{x^2} - (8x + 6) = 15x - 3{x^2} - 8x - 6  \cr 
  & {P_A}(x) =  - 3{x^2} + 7x - 6 \cr} $

به همین ترتیب سود شرکت ‌B را به دست می‌آوریم:

$\eqalign{
  & {R_B}(x) = 12x - {x^2}  \cr 
  & {C_B}(x) = 3x + 9  \cr 
  & {P_B}(x) = {R_B}(x) - {C_B}(x) \to {P_B}(x) = 12x - {x^2} - (3x + 9) = 5x - {x^2} + 9x - 9  \cr 
  & {P_B}(x) =  - {x^2} + 9x - 9 \cr} $

برای به دست آوردن تابع سود شرکت باید تابع سود دو کارخانه را با هم جمع کنیم:

$P(x) = {P_A}(x) + {P_B}(x) =  - 3{x^2} + 7x - 6 + ( - {x^2} + 9x - 9) =  - 4{x^2} + 16x - 15$

ب) برای محاسبه میزان تولید ماکزیمم از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

$x = \frac{{ - b}}{{2a}}$

در تابع سود $P(x) =  - 4{x^2} + 6x - 15$ داریم:

$x = \frac{{ - 16}}{{2( - 4)}} = \frac{{ - 16}}{{ - 8}} = 2$

پس با تولید 2 تن فولاد شرکت به سود می‌رسد.