مثلثهای $OA{H}'$ و $OBH$ بنابر تساوی زوایا، با هم متشابهاند:
${{\hat{O}}_{1}}={{\hat{O}}_{2}}$ (متقابل به رأس)
${\hat{H}}'=\hat{H}$ (قائمه)
${{\hat{A}}_{1}}={{\hat{B}}_{1}}$
بنابراین، طبق تناسب اضلاع داریم:
$\frac{O{H}'}{OH}=\frac{OA}{OB}=\frac{A{H}'}{BH}\Rightarrow \frac{O{H}'}{3}=\frac{\sqrt{13}}{OB}=\frac{3}{BH}(*)$
از طرفی در مثلث $AO{H}'$، میتوان ضلع $O{H}'$ را از قضیهی فیثاغورس حساب کرد:
$O{H}'=\sqrt{O{{A}^{2}}-A{{{{H}'}}^{2}}}=\sqrt{{{(\sqrt{13})}^{2}}-{{3}^{2}}}=\sqrt{4}=2\xrightarrow{(*)}\frac{2}{3}=\frac{3}{BH}\Rightarrow BH=\frac{9}{2}$