نكته: در روش برهان خلف، فرض می‌كنيم كه حكم نادرست باشد. سپس با استفاده از قوانين منطق گزاره‌ها و دنباله‌ای از استدلال‌های درست و مبتنی بر فرض، به يک نتيجۀ غيرممكن يا متضاد با فرض می‌رسيم و از آن‌جا نتيجه می‌گيريم كه فرض نادرست بودنِ حكم، باطل است و حكم درست است.

هر يک از گزينه‌ها را بررسی می‌كنيم:

گزينۀ ۱: در كتاب به‌روش برهان خلف اثبات شده است.

گزينۀ ۲: اگر $a$ گنگ نباشد، گويا است، در نتيجه ${{a}^{3}}$ نيز گوياست كه با فرض تناقض دارد. پس حكم درست است.

گزينۀ 3: اگر $a$ مضرب 3 باشد؛ یعنی $a=3k$، آنگاه ${{a}^{3}}=27{{k}^{3}}=3(9{{k}^{3}})=3{k}'$ نیز مضرب 3 است.

گزینهٔ 4: اگر $\frac{5}{a}$ گنگ نباشد، گوياست و از آنجا كه حاصل تقسيم دو عدد گويای ناصفر همواره گوياست، پس $\frac{5}{\frac{5}{a}}=a$ نیز گویاست که با فرض در تناقض است، پس حکم درست است.

بنابراين اثبات گزينۀ ۳ به برهان خلف نياز ندارد.