با توجه به مفروضات مسئله و بنابر قضيهٔ سينوس‌ها داريم: 

$\frac{a}{\sin \theta }=\frac{a+2}{\sin (2\theta )}\Rightarrow \frac{a}{\sin \theta }=\frac{a+2}{2\sin \theta \cos \theta }\Rightarrow \cos \theta =\frac{a+2}{2a}$     (1)

از طرفی بنابر قضيهٔ كسينوس‌ها داريم:

${{a}^{2}}={{(a+1)}^{2}}+{{(a+2)}^{2}}-2(a+1)(a+2)\cos \theta \Rightarrow \cos \theta =\frac{{{(a+1)}^{2}}+{{(a+2)}^{2}}-{{a}^{2}}}{2(a+1)(a+2)}$     (2)

حال با مقايسهٔ روابط (1) و (2) نتيجه می‌شود: 

$\frac{a+2}{2a}=\frac{{{(a+1)}^{2}}+{{(a+2)}^{2}}-{{a}^{2}}}{2(a+1)(a+2)}=\frac{(a+1)(a+5)}{2(a+1)(a+2)}=\frac{a+5}{2(a+2)}\Rightarrow a=4$

بنابراین:

$\cos \theta =\frac{4+2}{2\times 4}=\frac{3}{4}\Rightarrow \sin \theta =\sqrt{1-{{(\frac{3}{4})}^{2}}}=\sqrt{\frac{7}{16}}$

$\cos 2\theta ={{\cos }^{2}}\theta -{{\sin }^{2}}\theta =\frac{9}{16}-\frac{7}{16}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$