نكته: بر طبق قضيه ميانه‌ها در مثلث ABC با اضلاع a، b و c، مطابق شکل، داریم:

$\left\{ \begin{matrix}
   A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=2A{{M}^{2}}+\frac{B{{C}^{2}}}{2}  \\
   A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=2B{{N}^{2}}+\frac{A{{C}^{2}}}{2}  \\
   A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}=2C{{P}^{2}}+\frac{A{{B}^{2}}}{2}  \\
\end{matrix} \right.$

با توجه به نکته داریم:

$A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=2A{{M}^{2}}+\frac{B{{C}^{2}}}{2}$

همچنین با توجه به صورت سؤال داریم:

$A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=4A{{M}^{2}}$

از مقایسه‌ی دو رابطه، خواهیم داشت:

$2A{{M}^{2}}+\frac{B{{C}^{2}}}{2}=4A{{M}^{2}}\Rightarrow 2A{{M}^{2}}=\frac{B{{C}^{2}}}{2}\Rightarrow A{{M}^{2}}=\frac{B{{C}^{2}}}{2}\Rightarrow AM=\frac{BC}{2}$

رابطه‌ی اخیر نشان می‌دهد که میانه‌ی وارد بر ضلع BC در مثلث ABC نصف ضلع BC است، پس این مثلث 
قائم‌الزاویه بوده و زاویه‌ی A قائمه است، بنابراین مطابق شکل، مساحت ABC، برابر است با:

$S=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}\times 5\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}=15$