$\cos 3x+\cos x=0\Rightarrow \cos 3x=-\cos x$

از آنجا که $\cos (\pi -x)=-\cos x$، بنابراین:

$\cos 3x=\cos (\pi -x)\Rightarrow 3x=2k\pi \pm (\pi -x)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   3x=2k\pi +\pi -x\Rightarrow 4x=2k\pi +\pi   \\   3x=2k\pi -\pi +x\Rightarrow 2x=2k\pi +\pi   \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   x=\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{4}  \\   x=k\pi -\frac{\pi }{2}  \\\end{matrix} \right.$

چون $\cos x\ne 0$ پس جواب‌های $k\pi -\frac{\pi }{2}$ قابل قبول نیست. در نتیجه جواب کلی به‌صورت $x=\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{4}$ است.