${{S}_{7}}=182\Rightarrow \frac{7}{2}\left[ 2{{a}_{1}}+6d \right]=182\Rightarrow \frac{7}{2}\times 2\left( {{a}_{1}}+3d \right)=182\Rightarrow {{a}_{1}}+3d=\frac{182}{7}=26\begin{matrix}    {} & \left( I \right)  \\ \end{matrix}$ 

${{a}_{8}}=54\Rightarrow {{a}_{1}}+7d=54\begin{matrix}    {} & \left( II \right)  \\ \end{matrix}$ 

${{\xrightarrow{\left( II \right),\left( I \right)}}^{-}}\left\{ \begin{matrix}    {{a}_{1}}+3d=26  \\    {{a}_{1}}+7d=54  \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}    -{{a}_{1}}-3d=-26  \\    {{a}_{1}}+7d=54  \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow 4d=28\Rightarrow d=\frac{28}{4}=7$ 

حال $d=7$ را در یکی از معادلات بالا جای‌گذاری می‌کنیم.

${{a}_{1}}+7\times 7=54\Rightarrow {{a}_{1}}=54-49=5\Rightarrow {{a}_{1}}=5$