$\left\{ \begin{matrix} f(x)={{x}^{2}}+x  \\ g(x)=\sqrt{4x+1}  \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow (gof)(x)=g(f(x))=\sqrt{4f(x)+1}$

$\Rightarrow (gof)(x)=\sqrt{4{{x}^{2}}+4x+1}=\sqrt{{{(2x+1)}^{2}}}=\left| 2x+1 \right|$

می‌خواهيم مساحت ناحيهٔ محدود به نمودار به معادلهٔ $y=\left| 2x+1 \right|$  و خط به معادلهٔ $y=3$ را به‌دست آوريم:

با توجه به شكل رسم شده، مساحت مثلث $ABC$ مورد نظر سؤال است كه برای به‌دست آوردن آن بايد طول $BC$ را محاسبه كنيم .

برای اين منظور بايد نقاط تقاطع خط $y=3$ با نمودار $y=\left| 2x+1 \right|$ را مشخص كنيم.

$\left\{ \begin{matrix} y=3  \\ y=\left| 2x+1 \right|  \\ \end{matrix}\Rightarrow  \right.\left| 2x+1 \right|=3\Rightarrow 2x+1=\pm 3$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x+1=3\Rightarrow x=1\Rightarrow {{x}_{C}}=1  \\ 2x+1=-3\Rightarrow x=-2\Rightarrow {{x}_{B}}=-2  \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow BC={{x}_{C}}-{{x}_{B}}=3$

طول ارتفاع $AH$ هم برابر 3 است، پس خواهيم داشت:

$A(A\overset{\Delta }{\mathop{B}}\,C)=\frac{1}{2}AH\times BC=\frac{1}{2}\times 3\times 3=\frac{9}{2}=4/5$