می‌دانیم مشتق $f(u)$ به صورت $u'.f'(u)$ است، پس:

$g(x) = f(\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}) \Rightarrow g'(x) = f'(\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}).(\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}})'$

مشتق $\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}$ را به کمک مشتق تابع هموگرافیک حساب می‌کنیم:

$(\frac{{au + b}}{{cu + d}})' = \frac{{ad - bc}}{{{{(cu + d)}^2}}} \times u'$

$u = \sin x \to (\frac{{ - \sin x + 1}}{{\sin x + 1}})' = \frac{{ - 1 - 1}}{{{{(\sin x + 1)}^2}}} \times (\sin x)'$

$ = \frac{{ - 2\cos x}}{{{{(\sin x + 1)}^2}}}$

ادامه می‌دهیم:

$g'(x) = f'(\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}).(\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}})'$

$ \Rightarrow g'(x) = f'(\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}) \times \frac{{ - 2\cos x}}{{{{(\sin x + 1)}^2}}}$

جای $x$، $\frac{\pi }{6}$ قرار می‌دهیم:

$g'(\frac{\pi }{6}) = f'(\frac{{1 - \frac{1}{2}}}{{1 + \frac{1}{2}}}) \times \frac{{ - 2 \times \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{{{(\frac{1}{2} + 1)}^2}}}$

$ \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{3} = f'(\frac{1}{3}) \times \frac{{ - \sqrt 3 }}{{\frac{9}{4}}} \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{3} = f'(\frac{1}{3}) \times \frac{{ - 4\sqrt 3 }}{9}$

$ \Rightarrow f'(\frac{1}{3}) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \times \frac{{ - 9}}{{4\sqrt 3 }} = \frac{{ - 3}}{4}$