به شرط تعريف لگاريتم ها داريم: 

$\log _{b}^{a}=A\Rightarrow a={{b}^{A}}\Rightarrow \sqrt[A]{a}=b\Rightarrow b={{a}^{\frac{1}{A}}}\Rightarrow \log _{a}^{b}=\frac{1}{A}$

$\log _{{{b}^{m}}}^{a}=A\Rightarrow {{({{b}^{m}})}^{A}}=a\Rightarrow {{({{b}^{A}})}^{m}}=a$

$\Rightarrow {{b}^{A}}=\sqrt[m]{a}={{a}^{\frac{1}{m}}}$

$\Rightarrow \log _{b}^{{{a}^{\frac{1}{m}}}}=A\Rightarrow \frac{1}{m}\log _{b}^{a}=A\Rightarrow \log _{{{b}^{m}}}^{a}=\frac{1}{m}\log _{b}^{a}$

$\log _{b}^{a}=\frac{1}{\log _{a}^{b}}\Rightarrow \log _{3}^{12}=\frac{1}{\log _{12}^{3}}=\frac{1}{a}$

$\log _{3}^{3\times 4}=\frac{1}{a}\Rightarrow \log _{3}^{3}+\log _{3}^{4}=\frac{1}{a}$

$\Rightarrow 1+2\log _{3}^{2}=\frac{1}{a}\Rightarrow \log _{3}^{2}=\frac{\frac{1}{a}-1}{2}=\frac{1-a}{2a}$

$\log _{\sqrt{27}}^{8}=\log _{{{3}^{\frac{3}{2}}}}^{{{2}^{3}}}=\frac{3}{\frac{3}{2}}\log _{3}^{2}=2\log _{3}^{2}=2\times \frac{1-a}{2a}=\frac{1-a}{a}$