فرض کنیم دنباله هندسی به ترتیب زیر باشد:

$P(x),P(y),P(z)$

یعنی  $P(y)$  واسطه هندسی می‌باشدو لذا  $P(y) = \frac{1}{5}$. با توجه به این که قدر نسبت کمتر از واحد می‌باشد (و بزرگتر از صفر زیرا احتمال نمی‌تواند منفی باشد) لذا کمترین مقدار احتمال پیشامد ساده (پیشامد تک عضوی) همان $P(z)$ است.

از طرفی طبق تعریف دنباله هندسی (با قدر نسبت $r$ ) داریم:

$\frac{{P(y)}}{{P(x)}} = r\,\,\,\, \Rightarrow \frac{{\frac{1}{5}}}{{P(x)}} = r\,\,\,\,\,\, \Rightarrow P(x) = \frac{1}{{5r}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{P(z)}}{{P(y)}} = r\,\,\,\, \Rightarrow \frac{{P(z)}}{{\frac{1}{5}}} = r\,\,\,\,\,\, \Rightarrow P(z) = \frac{r}{5}$

از طرفی طبق قوانین احتمال:

$\begin{array}{l}
P(x) + P(y) + P(z) = 1\,\,\, \Rightarrow \frac{1}{{5r}} + \frac{1}{5} + \frac{r}{5} = 1\,\, \Rightarrow 1 + r + {r^2} = 5r\,\,\, \Rightarrow {r^2} - 4r + 1 = 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
r = \frac{{4 + \sqrt {16 - 4} }}{2} = \frac{{4 + \sqrt {12} }}{2} = 2 + \sqrt 3 \\
r = \frac{{4 - \sqrt {16 - 4} }}{2} = \frac{{4 - \sqrt {12} }}{2} = 2 - \sqrt 3 
\end{array} \right.
\end{array}$

جواب اول قابل قبول نیست زیرا قدر نسبت باید کمتر از 1 باشد و لذا

$P(z) = \frac{r}{5} = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{5}$