$-1\le 2x-3\le 2\Rightarrow 2\le 2x\le 5\Rightarrow 1\le x\le \frac{5}{2}$
$\Rightarrow {{D}_{g}}=\left[ 1,\frac{5}{2} \right]\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m=1 \\ n=\frac{5}{2} \\ \end{matrix} \right.$
$2\le f(x)\le 6\Rightarrow 2\le f(2x-3)\le 6\Rightarrow 4\le 2f(2x-3)\le 12$
$\Rightarrow 5\le 2f(2x-3)+1\le 13\Rightarrow 5\le g(x)\le 13$
$\Rightarrow {{R}_{g}}=\left[ 5,13 \right]=\left[ a,b \right]\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a=5 \\ b=13 \\ \end{matrix} \right.$
$\frac{a}{m}+\frac{b}{n}=\frac{5}{1}+\frac{13}{\frac{5}{2}}=5+\frac{26}{5}=10/2$