نکته‌:‌ ریشه‌های معادله‌ی $ax^{2}+bx+c=0$ در صورت وجود،‌ از رابطه‌ی زیر به دست می‌آید:

${{x}_{1}}\,,\,{{x}_{2}}=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}$

مطابق نکته،‌ ریشه‌های معادله را به دست می‌آوریم:

${{b}^{2}}+\sqrt{2}b-4=0\,\Rightarrow {{b}_{1,2}}=\frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{2-4(-4)}}{2}\Rightarrow {{b}_{1,2}}=\frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{18}}{2}$

$\Rightarrow {{b}_{1,2}}=\frac{-\sqrt{2}\pm 3\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
   {{b}_{1}}=\sqrt{2}  \\
   {{b}_{2}}=-2\sqrt{2}  \\
\end{matrix} \right.$

چون $\alpha \gt \beta$ پس $\alpha = \sqrt 2$ و $\beta =-2 \sqrt2$ بنابراین:‌

$\frac {\alpha}{\beta}= \frac {\sqrt2}{-2\sqrt2}=- \frac {1}{2}$