برای این‌که در $x=0$، مشتق سوم $f$ موجود باشد، باید $f_{-}^{(3)}(0)=f_{+}^{(3)}(0)$ و از طرفی توابع $f$، ${f}'$ و ${f}''$ در $x=0$ پیوسته باشند. داریم:

$f(x)=\left\{ \begin{matrix}    2x-\tan 2x\,\,\,\,\,;x \gt 0  \\    a{{x}^{n}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;x\le 0  \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow$

$ {f}'(x)=\left\{ \begin{matrix}    2-2(1+{{\tan }^{2}}2x)\,\,\,\,\,;x \gt 0  \\    a{{x}^{n}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;x\le 0  \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow$

$ {f}'(x)=\left\{ \begin{matrix}    -8\tan 2x(1+{{\tan }^{2}}2x)\,\,\,\,\,;x \gt 0  \\    an(n-1){{x}^{n-2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;x\le 0  \\ \end{matrix}\Rightarrow {{f}^{(3)}}(x)=\left\{ \begin{matrix}    -16{{(1+{{\tan }^{2}}2x)}^{2}}-32{{\tan }^{2}}2x(1+{{\tan }^{2}}2x)\,\,\,\,\,;x \gt 0  \\    an(n-1)(n-2){{x}^{n-3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;x\le 0  \\ \end{matrix} \right. \right.$  

$f_{+}^{3}(0)=-16\,\,\,\,(1)$ 

برای این‌که ${{f}^{3}}-(0)$ مخالف صفر باشد، باید توان $x$ یعنی $n-3$ برابر صفر باشد.

$n-3=0\Rightarrow n=3\Rightarrow f_{-}^{3}(0)=a\times 3\times 2\times 1=6a\,\,\,\,(2)$ 

$(1),(2)\Rightarrow 6a=-16\Rightarrow a=\frac{-8}{3}$ 

دقت کنید به‌ازای $n=3$ شرط پیوستگی $f$، ${f}'$ و ${f}''$ در $x=0$ برقرار می‌شود.