بررسی گزینه‌ها

گزینه 1: مثلث دلخواه ABC را رسم می‌کنیم به شرط آنکه $AB = AC$ و نیم‌ساز خارجی A را می‌کشیم و ثابت می‌کنیم که BC موازی است.

می‌دانیم در هر مثلث مجموع دو زاویهٔ داخلی برابر است با زاویهٔ خارجی غیرمجاور یعنی $\hat B + \hat C = xAC$ از طرفی $x\hat AC = {\hat A_1} + {\hat A_2}$ و چون Ay نیم‌ساز است پس ${\hat A_1} = {\hat A_2}$ از طرفی مثلث متساوی‌الساقین است پس $\hat B = \hat C$ در نتیجه:

${\hat A_1} + {\hat A_2} = \hat B + \hat C \Rightarrow 2{\hat A_2} = 2\hat C \Rightarrow {\hat A_2} = \hat C$

طبق قضیهٔ توازی و تعامد در سال هشتم می‌توان نتیجه گرفت $Ay\left\| {BC} \right.$ است. پس گزینه درست است.

گزینه 2: ذوزنقه متساوی‌الساقین ABCD را در نظر بگیرید. قطرهای AC و BC را رسم کنید.

می‌دانیم $\mathop {ABC}\limits^ \wedge   = \mathop {DAB}\limits^ \wedge  $

$\left\{ \begin{gathered}
  AD = BC \hfill \\
  AB \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \mathop {DAB}\limits^\Delta   \cong \mathop {ABC}\limits^\Delta   \Rightarrow \overline {DB}  = \overline {AC} $

گزینه 3: مثال نقض می‌آوریم.

${S_1} = \frac{{3 \times 4}}{2} = 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{S_2} = \frac{{2 \times 6}}{2} = 6$

هم مساحت هستند ولی هم‌نهشت نیستند.

گزینه 4: مشابه کاردرکلاس صفحه 38