برای آن‌که تابع $f$ در $x=-3$ مشتق‌پذیر باشد، باید در این نقطه پیوسته بوده و مشتق چپ و راست تابع در $x=-3$ برابر باشد. ابتدا شرط دوم را بررسی می‌کنیم. تابع مشتق به‌صورت زیر است:

${f}'(x)=\left\{ \begin{matrix}    2x+7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \gt -3  \\    \frac{2}{2\sqrt{2x+b}}\,\,\,\,\,\,\,\,x \lt -3  \\ \end{matrix} \right.$ 

مشتق چپ و راست را در $x=-3$ برابر هم قرار می‌دهیم:

${{{f}'}_{+}}(-3)={{{f}'}_{-}}(-3)\Rightarrow 2(-3)+7=\frac{1}{\sqrt{-6+b}}$

$\Rightarrow \sqrt{-6+b}=1\Rightarrow b-6=1\Rightarrow b=7\,\,\,\,\,(*)$ 

همچنین با توجه به شرط پیوستگی داریم:

$f(-3)=\underset{x\to -{{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -{{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$

$\Rightarrow 9-21+a=\sqrt{-6+b}\xrightarrow{(*)}-12+a=1\Rightarrow a=13\Rightarrow a+b=20$