گاما رو نصب کن!

{{ number }}
اعلان ها
اعلان جدیدی وجود ندارد!
کاربر جدید

جستجو

پربازدیدها: #{{ tag.title }}

میتونی لایو بذاری!

یک نقطه بر روی منحنی $y=\sqrt{x}$ در حال حرکت است. در لحظه‌ای که از نقطه‌ی $(4,2)$ می‌گذرد، مؤلفه‌ی $x$ آن با سرعت $3\frac{cm}{s}$ تغییر می‌کند. در این لحظه فاصله‌ی بین نقطه ومبدأ مختصات با چه آهنگی برحسب $\frac{cm}{s}$ تغییر می‌کند؟

1 ) 

$\frac{27}{2\sqrt{5}}$

2 ) 

$\frac{25}{2\sqrt{5}}$

3 ) 

$\frac{27}{4\sqrt{5}}$

4 ) 

$\frac{25}{4\sqrt{5}}$

پاسخ تشریحی :
نمایش پاسخ

اگر $D$ را فاصله‌ی مبدأ مختصات از نقطه‌ی $(x,y)$ فرض کنیم، در این‌صورت داریم: $D=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$ 

چون نقطه‌ی $(x,y)$ بر روی منحنی $y=\sqrt{x}$ واقع است.

بنابراین در معادله‌ی این منحنی صدق می‌کند، پس:

$D=\sqrt{{{x}^{2}}+{{(\sqrt{x})}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+x}$ 

از $D$ نسبت به زمان مشتق می‌گیریم. داریم:

$\frac{dD}{dt}=\frac{2x+1}{2\sqrt{{{x}^{2}}=x}}\frac{dx}{dt}$ 

$(\frac{dx}{dt}=3\frac{cm}{s})\xrightarrow{x=4}\frac{dD}{dt}=\frac{9}{2\sqrt{20}}\times 3=\frac{27}{4\sqrt{5}}\frac{cm}{s}$ 

آهنگ تغییر فاصله برحسب زمان برابر $\frac{27}{4\sqrt{5}}\frac{cm}{s}$ است.

تحلیل ویدئویی تست

سید حجت طبائی