نكته: شيب خط مماس بر منحنی $f$ در نقطۀ $A(a,f(a))$ را به‌صورت زير تعريف می‌كنيم: (به‌شرطی كه اين حد موجود و متناهی باشد.) 

شیب خط مماس بر منحنی در نقطهٔ $A$ $=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

حد بالا را (در صورت وجود) مشتق تابع $f$ در نقطۀ $a$ می‌نامند و با ${f}'(a)$ نمايش می‌دهند؛ يعنی: 

${f}'(a)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

ابتدا شيب خط $AB$ را به‌دست می‌آوريم: 

${{m}_{AB}}=\frac{4-2}{-1-1}=-\frac{2}{2}=-1$

معادلۀ اين خط به‌صورت $y=-x+3$ است.

چون اين خط در نقطۀ $x=-2$ بر تابع $f$ مماس است، پس ${f}'(-2)={{m}_{AB}}=-1$. از طرفی با استفاده از ضابطۀ خط داريم: $f(-2)=5$

مقدار خواسته شده را به‌كمک تعريف مشتق ساده می‌كنيم: 

$\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{2}}(x)-3f(x)-10}{x+2}=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{(f(x)-5)(f(x)+2)}{x+2}=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,((\frac{f(x)-f(-2)}{x+2})(f(x)+2))$

$=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}\times \underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,(f(x)+2)={f}'(-2)\times (f(-2)+2)=-1\times 7=-7$