نكته: اندازه‌ی هر زاويه‌ی محاطی، برابر با نصف كمان روبه‌روی آن است.

$A\hat{M}B=\frac{\overset\frown{AB}}{2}$

نكته: اندازه‌ی هر زاويه‌ی مركزی، برابر با كمان روبه‌روی آن است.

نكته: در يك دايره، دو وتر مساوی، كمان‌های مساوی دارند و برعكس.

$AB=CD\Leftrightarrow \overset\frown{AB}=\overset\frown{CD}$

ابتدا پاره‌خط OP را رسم می‌کنیم.

زاویه‌ی MON مرکزی است، پس اندازه‌اش با اندازه‌ی کمان روبه‌روی آن برابر است.

$\overset\frown{MN}=M\hat{O}N\Rightarrow {{160}^{{}^\circ }}$

طبق فرض $PM=PN$، پس کمان‌هایشان هم با هم برابرند:

$\overset\frown{PM}=\overset\frown{PN}=\frac{\overset\frown{MN}}{2}=\frac{{{160}^{{}^\circ }}}{2}={{80}^{{}^\circ }}$

در مثلث OPM داریم: $OM=OP=R$

پس مثلث OPM در رأس O متساوی‌الساقین است. بنابراین:

$M\hat{P}O=P\hat{M}O=\alpha $

حال با توجه به اینکه مجموع زوایای داخلی هر مثل ${{180}^{{}^\circ }}$ است، داریم:

$\alpha +\alpha +{{80}^{{}^\circ }}={{180}^{{}^\circ }}\Rightarrow 2\alpha ={{100}^{{}^\circ }}\Rightarrow \alpha ={{50}^{{}^\circ }}$