ابتدا پیوستگی تابع $f(x)$ را در مبدأ مختصات و سپس مشتق را بررسی می‌کنیم:

 $\left\{ \begin{matrix}
   \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{x\left[ x \right]}=0  \\
   \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{x\left[ x \right]}=0  \\
   f(0)=\sqrt{0\times 0}=0  \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \,f(x)\,dar\,\,x=0\,\,peyvaste\,ast.$

 $\begin{align}
  & moshtagh\,rast:{{{{f}'}}_{+}}(0)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x\left[ x \right]}-0}{x-0}=0\, \\
 & moshtagh\,chap:{{{{f}'}}_{-}}(0)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x\left[ x \right]}-0}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{-x}}{x}=\,\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{-x}}{\sqrt{-x}\times \sqrt{-x}}  \\
\end{align}$

$=\,\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{-x}}=+\infty $

بنابراین $f(x)$ در مبدأ مختصات مشتق ندارد و $x=0$ نقطهٔ گوشه‌ای  برای این تابع است. ولی $f$ در این نقطه مماس قائم ندارد، پس گزینهٔ سه پاسخ درست است.