معادله را با استفاده از روش کلی یا ($\Delta $) حل می‌کنیم:

${x^2} - 2\sqrt 3 x - 4 = 0 \to $ مقایسه با فرم استاندارد

$ \to a{x^2} + bx + c = 0$

$\eqalign{
  &  \to a = 1  \cr 
  & b =  - 2\sqrt 3   \cr 
  & c =  - 4 \cr} $

$\Delta  = {b^2} - 4ac \Rightarrow \Delta  = {( - 2\sqrt 3 )^2} - 4 \times (1) \times ( - 4) = 12 + 16 = 28$

${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} \Rightarrow {x_1} = \frac{{ - ( - 2\sqrt 3 ) + \sqrt {28} }}{{2 \times 1}} = \frac{{2\sqrt 3  + 2\sqrt 7 }}{2} = \sqrt 3  + \sqrt 7 $

${x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}} \Rightarrow {x_2} = \frac{{ - ( - 2\sqrt 3 ) - \sqrt {28} }}{{2 \times 1}} = \frac{{2\sqrt 3  - 2\sqrt 7 }}{2} = \sqrt 3  - \sqrt 7 $

که با مقایسه با عبارت $\sqrt \alpha   \pm \sqrt \beta  $ و $\alpha  = 3$ و $\beta  = 7$ است. پس:

$ \Rightarrow \alpha  + \beta  = 3 + 7 = 10$